Racines de l’unité : pourquoi dessinent-elles des polygones ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on se lance dans un décryptage de l'article Histoire de Racines.

Intervenant 20:07

Bonjour Sam.

Intervenant 10:09

Oui, c'est une exploration vraiment fascinante sur cette fameuse frontière entre l'algèbre et la géométrie.

Intervenant 20:15

Parce que d'habitude, on a tendance à vraiment séparer les deux, en

Intervenant 10:18

fait. Complètement. C'est les petits tiroirs classiques des mathématiques. Sauf que là, l'idée, c'est de prendre une équation super épurée du style z puissance n égale 1 et de voir sa géométrie.

Intervenant 20:30

Et c'est là que les cloisons explosent littéralement. C'est ce qu'on appelle la recherche des racines anième de l'unité.

Intervenant 10:35

D'accord. Donc pour bien situer pour les auditeurs, on cherche les nombres qui, une fois multipliés par eux-mêmes, n fois, donnent 1.

Intervenant 20:43

C'est exactement ça.

Intervenant 10:45

Alors si n vaut 2, c'est facile, c'est 1 et moins 1, un nombre au carré qui fait 1.

Intervenant 20:51

Oui voilà, du grand classique. Mais l'article devient très intéressant quand on passe à n égale 3, les racines cubiques.

Intervenant 10:58

Où là on trouve 1 et deux autres nombres complexes qu'on note j et j au carré.

Intervenant 21:04

Tout à fait. Et l'ensemble forme ce qu'on appelle un groupe commutatif fini.

Intervenant 11:09

Alors le 1, je le visualise bien, mais les deux autres J et J², je suis un peu moins sûr. Comment on se les représente concrètement ?

Intervenant 21:18

Il faut repenser à la façon dont les nombres complexes se multiplient. En fait, on ne modifie pas juste leur taille, on additionne aussi leurs angles.

Intervenant 11:27

Ah, donc on tourne sur un graphique.

Intervenant 21:29

Voilà.