Nombres constructibles : des tracés au verdict algébrique

Intervenant 10:00

Bonjour tout le monde et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle plongée fascinante.

Intervenant 20:08

Bonjour Evelyne. Oui, je suis ravi d'être là. On a un super programme.

Intervenant 10:11

Ah, ça, c'est clair. Alors, pour commencer, quand on prend un compas et qu'on trace un simple cercle sur une feuille de paquets blanche, on ressent une forme de simplicité absolue, non ?

Intervenant 20:23

Tout à fait. C'est un mouvement du poignet qui est très fluide.

Intervenant 10:27

Voilà, une mine de plomb qui tourne autour d'une pointe en vitale. Le geste semble innocent, presque un peu primitif en fait.

Intervenant 20:34

Ouais, et c'est justement cette innocence qui est trompeuse. On a vraiment l'impression de faire de l'art visuel. De dessiner quoi. Exactement. D'explorer la géométrie pure de manière totalement déconnectée du moindre calcul, la ligne droite et le cercle parfait, c'était considéré par les grecs anciens comme les formes divines par excellence.

Intervenant 10:53

Mais la réalité, c'est qu'au moment même où cette mine touche le papier, on invoque des lois implacables. On ouvre des portes vers des dimensions cachées. C'est

Intervenant 21:01

joliment dit.

Intervenant 11:03

Merci. Et on réveille surtout des mystères qui ont tenu en échec les plus grands esprits de l'humanité pendant plus de deux millénaires.

Intervenant 21:10

C'est exactement

Intervenant 11:11

ça. Donc, notre mission dans l'exploration d'aujourd'hui, c'est de rouvrir ces véritables cold cases des mathématiques de l'Antiquité. Des trucs ultra connus comme la fameuse quadrature du cercle ou la duplication du cube.

Intervenant 21:23

De beaux morceaux en effet.

Intervenant 11:24

Grave. Et pour mener cette enquête, on va s'appuyer sur un article vraiment passionnant qui s'intitule « Quand l'algèbre rencontre la géométrie ».

Intervenant 21:33

Alors, la problématique centrale aujourd'hui, le grand pourquoi de notre discussion, ça remet en cause notre perception même du dessin.

Intervenant 11:42

C'est-à-dire ?

Intervenant 21:44

Bah, on croit que tirer des lignes ou chercher des intersections avec une règle, c'est un acte purement géométrique.

Intervenant 11:50

Bah oui, ça paraît logique.

Intervenant 21:51

Eh bien, l'article nous révèle une vérité beaucoup plus profonde. En fait, c'est de l'algèbre pur et dur qui opère, là, en silence, derrière chaque trait.

Intervenant 12:00

Oh waouh. Donc les outils physiques qu'on manipule dictent secrètement des lois algébriques.

Intervenant 22:06

Exactement. Des lois dont on ne peut absolument pas s'échapper.

Intervenant 12:10

D'accord. Alors les Grecs étaient complètement bloqués par ces énigmes dont on parlait. Et pour comprendre ce blocage, je crois qu'il faut faire un sacré saut mental dans le temps.

Intervenant 22:21

C'est indispensable, oui, il faut vraiment comprendre qu'ils souffraient d'une véritable crise d'identité mathématique à l'époque.

Intervenant 12:27

C'est-à-dire que leur univers était physiquement limité parce qu'ils confondaient la notion de nombre avec l'objet physique lui-même, c'est bien ça.

Intervenant 22:34

Ouais, c'est un point philosophique fondamental. Dans la pensée antique, un nombre, ce n'était pas une entité abstraite.

Intervenant 12:41

Pas un petit cymbale flottant dans notre esprit comme aujourd'hui, quoi.

Intervenant 22:43

Non, pas du tout. Un nombre, c'était viscéralement attaché à une réalité tangible. C'était la longueur d'un bâton spécifique,

Intervenant 12:51

Ou la distance réelle entre deux villes.

Intervenant 22:53

Voilà. En fait, il ne séparait jamais la valeur numérique de son unité de mesure.

Intervenant 12:58

Donc additionner ne posait aucun problème, on met deux bâtons bout à bout, ça, ça va.

Intervenant 23:03

Très facile.

Intervenant 13:05

Mais c'est là que l'univers grec se heurte à un mur dimensionnel, non ?

Intervenant 23:10

Si on veut calculer l'aire d'un terrain, on multiplie deux longueurs et bim, on obtient un rectangle.

Intervenant 13:15

Jusque-là, tout va bien.

Intervenant 23:16

Et si on en multiplie trois, on obtient un volume, comme un bloc de pierre.

Intervenant 13:21

D'accord. Mais que se passe-t-il si une théorie mathématique exige de multiplier, genre, deux aires entre elles ?

Intervenant 23:28

Eh bien, c'est là que tout s'effondre pour eux. Multiplier quatre longueurs en géométrie, c'est une aberration absolue.

Intervenant 13:34

Attendez, si je décortique le truc. C'est un peu comme si, dans la vie de tous les jours, on essayait de multiplier deux champs de blé.

Intervenant 23:41

C'est une super analogie, ça.

Intervenant 13:42

Et du coup, on obtiendrait quoi ? Un genre d'hyperchamp dans la quatrième dimension ?

Intervenant 23:47

Exactement. Et comme la quatrième dimension physique n'existe pas dans leur perception du monde, cette opération ne voulait strictement rien dire.

Intervenant 13:55

C'était juste absurde pour

Intervenant 23:57

eux. Un non-sens total.

Intervenant 13:58

Ok, donc si on veut dépasser cette limite imposée par notre petit monde en trois dimensions, il fallait impérativement séparer l'idée d'un nombre de sa réalité physique.

Intervenant 24:08

C'est le nœud du problème. C'est une révolution psychologique monumentale qu'il fallait accomplir.

Intervenant 14:13

Mais alors, comment l'humanité a fini par s'en sortir ? Comment on a fait ce saut mental ?

Intervenant 24:18

Eh bien, il a fallu attendre des siècles. Cette rupture, elle arrive seulement en 1637. Ah

Intervenant 14:23

oui, quand même.

Intervenant 24:24

Sous la plume du philosophe et mathématicien français René Descartes, dans son fameux ouvrage « La géométrie ».

Intervenant 14:29

Descartes, évidemment. Et qu'est-ce qu'il fait de si spécial ?

Intervenant 24:32

Il trouve une astuce d'une élégance inouïe. Il décide de fixer un segment de droite totalement arbitraire.

Intervenant 14:40

Un bout de ligne quelconque, quoi.

Intervenant 24:41

Voilà. Et il décrète que ce segment précis vaudra simplement la valeur 1. C'est tout.

Intervenant 14:47

Attendez, juste poser le chiffre 1 sur un segment, ça change les lois de la physique mathématique ?

Intervenant 24:52

Totalement ! Parce que ce segment devient un étalon universel. En posant ce repère abstrait, Descartes crée en fait un facteur d'échelle.

Intervenant 15:01

Oh je vois ! Donc quand on multiplie deux longueurs, on ne crée plus forcément une aire encombrante.

Intervenant 25:06

Exactement ! On compare simplement le résultat à notre segment étalon 1, et le produit redevient une simple ligne.

Intervenant 15:13

Ah, c'est génial ! Fini les absurdités dimensionnelles.

Intervenant 25:16

C'est la fin du blocage. C'est littéralement l'acte de naissance des coordonnées cartésiennes. Des cartes libèrent les nombres de leurs prisons matérielles.

Intervenant 15:24

Ils redeviennent des abstractions pures qui peuvent interagir à l'infini sans jamais se soucier des limites de l'espace en trois dimensions.

Intervenant 25:32

Vous avez tout compris.

Intervenant 15:34

Super. Alors maintenant qu'on a ce formidable terrain de jeu abstrait inventé par Descartes, avec son repère et son point 1, revenons à nos outils.

Intervenant 25:42

Les fameux outils grecs.

Intervenant 15:44

Voilà, parce que les Grecs nous ont imposé des règles du jeu d'un minimalisme et extrême. On n'a que deux outils divins.

Intervenant 25:51

Une règle non graduée, donc un simple bord droit sans aucune marque.

Intervenant 15:55

Et un compas qui se referme dès qu'on lève du papier, c'est ça ?

Intervenant 25:58

Le fameux compas euclidien.

Intervenant 16:00

C'est bien ça, et c'est avec ce matériel très basique qu'on doit générer l'ensemble de tous les points atteignables dans notre univers.

Intervenant 26:06

Ce que l'article appelle l'ensemble des nombres constructibles ou le corps grand C.

Intervenant 16:11

Oui, obtenir tous les nombres entiers, 1, 2, 3, ça a l'air d'être un jeu d'enfant.

Intervenant 26:16

C'est très intuitif. Mais la vraie prouesse, c'est de réaliser des opérations beaucoup plus complexes sans jamais écrire un seul chiffre.

Intervenant 16:22

Attendez, là je fais l'avocat du diable. Je veux bien qu'on additionne en mettant deux segments l'un derrière l'autre.