Nombres polygonaux : comment une forme devient-elle un nombre ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, je suis vraiment super contente de vous enfin de retrouver notre auditoire aujourd'hui pour une plongée qui va...

Intervenant 20:08

Une plongée très visuelle pour le coup.

Intervenant 10:11

Exactement, très visuelle et surtout assez magique. Imaginez l'espace d'un instant que vous avez devant vous sur une table juste une poignée de simples cailloux.

Intervenant 20:20

Ouais, juste des petits cailloux tout bêtes.

Intervenant 10:22

Voilà, rien de plus. Eh bien, sans écrire le moindre chiffre sur un bout de papier, sans formuler la moindre équation au tableau et sans même faire un effort de calcul mental abstrait...

Intervenant 20:33

Ce qui est plutôt reposant en fait.

Intervenant 10:35

C'est clair. Bah cette petite poignée de cailloux, elle possède un pouvoir complètement insoupçonné. Si on s'amuse à les arranger selon des règles géométriques bien précises, ces objets banals peuvent résoudre instantanément des problèmes algébriques.

Intervenant 20:47

Les problèmes qui nécessiteraient normalement des lignes et des lignes de démonstration sur un tableau noir.

Intervenant 10:53

Carrément ! C'est l'ambition de notre exploration mathématique d'aujourd'hui. On s'appuie sur un super article qui s'intitule « Quand les polygones forment des nombres ». Et l'idée de base, la mission qu'on se donne, c'est de montrer que la géométrie cache les secrets de l'algèbre.

Intervenant 21:07

Tout à fait. Et pour comprendre cette idée fondatrice, il faut faire un petit bond dans le temps. On retourne directement à l'Antiquité, en plein cœur de l'école pythagoricienne. Eh

Intervenant 11:17

oui, les fameux

Intervenant 21:19

pythagoriciens. Eh oui. Ces penseurs, ils ont eu une idée d'une puissance redoutable. Ils se sont dit qu'au lieu de représenter les nombres par des symboles abstraits tracés dans le sable, ils allaient les représenter physiquement.

Intervenant 11:30

Donc, rendre le nombre palpable,

Intervenant 21:32

quoi. Exactement. Avec des points réels, tangibles, qu'on agence pour former des figures régulières. C'est ça qu'on appelle les fameux « nombres figurés ».

Intervenant 11:41

C'est génial, parce que du coup, on va littéralement voir les mathématiques se dessiner sous nos yeux pendant toute cette exploration.

Intervenant 21:49

C'est le pari, ouais. L'épithégoricien avait compris que la géométrie pouvait servir de squelette visuelle à l'arithmétique. Et quand on voit une forme grandir, ça révèle des théorèmes assez redoutables.

Intervenant 11:59

Bon, alors si on veut poser des fondations bien solides pour l'auditoire qui nous écoute, je pense que la forme la plus intuitive pour organiser nos points au départ, c'est le triangle.

Intervenant 22:08

Le triangle, c'est la base absolue. Il offre une pureté de construction indéniable, tu vois.

Intervenant 12:14

Ouais, la mécanique est super simple.

Intervenant 22:16

En gros, à la toute première étape, tu poses un point solitaire sur ta table.

Intervenant 12:20

Ok, j'ai mon premier caillou.

Intervenant 22:22

Voilà. À l'étape 2, tu viens glisser une rangée de deux points juste en dessous de ce premier point.

Intervenant 12:29

Ce qui fait un mini-triangle de trois cailloux.

Intervenant 22:31

C'est ça. Et à l'étape 3, tu rajoutes une rangée de trois points à la base, et ainsi de suite. La figure s'élargit naturellement vers le bas, strate par strate.

Intervenant 12:40

Pour avoir une image mentale bien nette, c'est exactement la disposition des boules de billard, tu sais, quand on utilise le triangle en bois avant de casser.

Intervenant 22:48

Ah oui, excellente analogie.

Intervenant 12:49

On a la boule de tête, suivie d'une ligne de 2 boules, puis 3, puis 4, et la dernière ligne en compte 5 au fond. On peut affirmer sans trembler que le cinquième nombre triangulaire, c'est 15. Et jusqu'ici, bon, on peut compter sur ses doigts, c'est facile.

Intervenant 23:04

Ouais, c'est très visuel à petite échelle.

Intervenant 13:05

Mais la vraie problématique d'efficacité, elle surgit si on voit beaucoup plus grand. Imaginons qu'on construise un triangle colossal avec genre 100 ou 1000 étapes de base. On ne va quand même pas s'amuser à additionner manuellement 1, plus 2, plus 3, jusqu'à 1000.

Intervenant 23:23

Ben non, ça prendrait un temps fou. On a cruellement besoin d'un raccourci. Et l'approche pour trouver ce raccourci, elle est juste fascinante.

Intervenant 13:30

Vas-y, raconte.

Intervenant 23:31

L'article met en lumière une démonstration célèbre qui vient du livre « Nombre et figure » d'Irving Adler. Dans notre jargon, c'est ce qu'on appelle une preuve sans mot.

Intervenant 13:41

Une preuve sans mot, ça veut dire pas de blabla, juste du visuel.

Intervenant 23:45

Exactement. Au lieu de se débattre avec une somme arithmétique interminable, l'idée, c'est de tricher de manière spatiale.

Intervenant 13:51

Oh, j'adore l'idée de tricher avec l'espace.

Intervenant 23:54

Tu vas voir. On prend notre triangle de points. Disons qu'il a une taille qu'on va appeler N, d'accord ?

Intervenant 14:00

Ok. L'astuce consiste à imaginer ce triangle et en générer un clone mentalement.

Intervenant 24:05

Ok, je l'imagine. Disons que j'ai un triangle rouge et je crée un clone bleu parfait juste à côté pour bien le distinguer.

Intervenant 14:12

Super ! Alors là, la magie visuelle s'opère quand tu saisis ton triangle bleu que tu le retournes la tête en bas.

Intervenant 24:18

Attends, je le retourne complètement ? Ouais, tu mets la pointe en bas et tu le fais glisser contre le flanc incliné de ton triangle rouge.

Intervenant 14:26

Ah oui, comme ils sont en forme d'escalier sur les côtés, leurs bords vont s'emboîter.

Intervenant 24:30

Avec une précision diabolique même. Le vide laissé par une rangée de l'un est instantanément comblé par la pointe de l'autre.

Intervenant 14:37

C'est dingue ça ! Du coup, notre forme n'est plus du tout un grand triangle. C'est devenu un rectangle super compact et bien droit.

Intervenant 24:44

Un rectangle dont les dimensions sont la clé de voûte de notre problème d'addition. Si on évalue ce nouveau bloc,

Intervenant 14:52

La largeur de ce rectangle, ça correspond simplement à la base de notre triangle rouge d'origine, donc elle compte n points.

Intervenant 24:58

Exactement. Et pour la longueur ?

Intervenant 15:01

Pour la longueur, vu qu'on a emboîté les deux triangles, il y a un petit décalage d'un point au bout, non ? Donc elle mesure très exactement n plus un point.

Intervenant 25:09

Tout juste. Et là, la complexité s'effondre d'un coup.

Intervenant 15:12

Ah mais carrément ! Parce que calculer le nombre total de points dans ce rectangle, ça devient une vulgaire formule d'air de primaire, la largeur fois la longueur.

Intervenant 25:20

Ce qui nous donne n multiplié par n plus 1.

Intervenant 15:23

Voilà. Sauf que, vu qu'on a utilisé deux triangles pour fabriquer ce grand rectangle, il faut impérativement diviser ce résultat par deux pour retrouver la valeur d'un seul triangle.

Intervenant 25:32

Et voilà comment tu obtiens ta formule N. Le nombre triangulaire à l'étape N est égal à N fois N plus 1, le tout divisé par 2.

Intervenant 15:40

C'est fou ! La géométrie vient de court-circuiter une somme hyper fastidieuse, juste avec une manipulation de blocs. C'est hyper satisfaisant !

Intervenant 25:49

C'est l'illustration parfaite de la puissance d'une preuve visuelle. Et tu penses bien qu'une fois cette logique validée pour les formes à trois côtés, les mathématiciens antiques ne comptaient pas s'arrêter là.

Intervenant 15:59

J'imagine bien. Ils ont voulu étendre le système à d'autres polygones.

Intervenant 26:02

Exactement. Passer à la vitesse supérieure.

Intervenant 16:05

Mais c'est là que notre instinct peut nous jouer des tours. Parce que si je me mets dans la peau d'un géomètre grec et que je veux construire un carré avec des cailloux, ma première impulsion, ce serait bêtement de tracer quatre lignes égales.

Intervenant 26:17

Ben oui, ça paraît logique de dessiner les contours.

Intervenant 16:19

Sauf que procédé comme ça, ça brise totalement la logique de croissance organique, point par point, qu'on vient d'établir avec les triangles.

Intervenant 26:26

Exactement. Il nous faut un point de départ, une espèce d'encre pour faire grandir la figure étape par étape.

Intervenant 16:32

Comment il faisait alors ?

Intervenant 26:33

Ils utilisaient le concept de l'homothésie. C'est le mécanisme privilégié par les Grecs. En gros, c'est un étirement depuis un repère fixe.

Intervenant 16:41

Ok, donc on prend un sommet de notre polygone et on décide qu'il ne bougera plus jamais. Disons qu'on le colorie en rouge.

Intervenant 26:47

Voilà, notre encre rouge.