Quand la logique se contredit et divise les mathématiciens

Intervenant 10:00

Bonjour tout le monde et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une petite expérience de pensée. Imaginons qu'on construise une forteresse mathématique. Absolument imprenable.

Intervenant 20:12

Ouais, le truc parfait, sans aucune faille.

Intervenant 10:14

C'est ça. On ferme les lords de porte à double tour et là, bam, on réalise soudainement qu'on a coinçu la clé à l'intérieur.

Intervenant 20:21

C'est une super analogie pour résumer l'article querelle et paradoxe qu'on épluche aujourd'hui. On va voir comment, au début du XXe siècle, les plus grands cerveaux ont littéralement fait planter la machine logique qu'ils avaient eux-mêmes construite.

Intervenant 10:34

Et ce qui est fascinant, c'est que cette quête d'une certitude absolue, elle s'est d'abord heurtée aux limites de notre propre vocabulaire.

Intervenant 20:39

Complètement. Tout commence avec le paradoxe de Jules Richard. En gros, l'idée c'est de prendre tous les nombres réels qu'il est possible de définir avec un nombre fini de mots.

Intervenant 10:50

D'accord, donc on fait une grande liste infinie de ces nombres.

Intervenant 20:52

Exactement, un ensemble qu'on appelle E. Jusque là, la logique se tient. Mais Richard, lui, il est malin. Il invente une règle très stricte pour créer un tout nouveau nombre, qu'on va appeler N. Euh,

Intervenant 11:04

il fait comment N ?

Intervenant 21:05

Eh bien, il prend la première décimale du premier nombre de la liste, et il lui ajoute 1.

Intervenant 11:09

Et si cette décimale, c'est un 8 ou

Intervenant 21:11

un 9 ? Bah, il la remplace par un 0, juste pour garder un seul chiffre. Puis, il applique exactement la même modification à la deuxième décimale du deuxième nombre, et ainsi de suite, à l'infini.

Intervenant 11:22

Attends, je suis un peu perdue là. Pourquoi faire cette manipulation chiffre par chiffre ? En quoi ça pose le moindre problème mathématique en fait ?

Intervenant 21:29

C'est là que le piège se referme. Vu qu'on a modifié systématiquement au moins un chiffre de chaque nombre de notre liste initiale, ce nouveau nombre n, il est mathématiquement garanti d'être différent de tous les autres. Donc par conséquent, il ne peut pas être dans la liste de départ.

Intervenant 11:45

Ah, je vois le bug.