Pythagore : la preuve géométrique de Léonard de Vinci

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis ravie d'accueillir nos auditeurs pour cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:08

Bonjour à tous.

Intervenant 10:09

C'est quand même assez fou de se dire qu'on peut prouver un des théorèmes les plus complexes d'Antiquité, non pas avec des équations à rallonge, mais avec un simple jeu de pliage, enfin un peu comme de l'origami.

Intervenant 20:20

Ah oui, c'est clairement le rêve de tous ceux qui ont un jour transpiré sur une démonstration algébrique au tableau. On a souvent cette impression tenace que la rigueur mathématique exige forcément de la souffrance calculatoire, des lignes et des lignes de chiffres.

Intervenant 10:32

Sauf qu'aujourd'hui, notre article source nous montre tout l'inverse. Et la vraie surprise, c'est l'auteur de cette démonstration.

Intervenant 20:39

Exactement.

Intervenant 10:40

Léonard de Vinci, un esprit de la Renaissance mondialement connu pour la peinture, l'ingénierie, mais alors pas du tout mathématicien de profession. Donc, comment un profil aussi visuel aborde-t-il une démonstration mathématique classique ?

Intervenant 20:56

Ben, c'est justement son regard spatial qui change toute la donne. Au lieu de manipuler des symboles abstraits, il manipule des formes physiques. Faisons l'exercice mentalement. On oublie les lettres habituelles des manuels scolaires.

Intervenant 11:09

Les fameux ABC qu'on mettait sur chaque sommet.

Intervenant 21:11

Voilà. On les oublie complètement. Pensons simplement à une équerre classique posée sur une table. Elle va représenter notre fameux triangle rectangle.

Intervenant 11:19

D'accord, je visualise. L'équerre est en place.

Intervenant 21:22

Maintenant, sur chacun des trois côtés de cette équerre, on vient coller un carré. On a donc un grand carré collé sur le bord le plus long, l'hypoténuse, et deux plus petits carrés collés sur les bords courts. Ça, c'est la configuration de départ de Pythagore.

Intervenant 11:36

Jusque là, c'est pas révolutionnaire. C'est l'image qu'on a tous vu dans nos cours de géométrie.

Intervenant 21:41

C'est vrai, mais c'est là que le génie de Da Vinci s'exprime. Il décide d'ajouter deux autres équerres, rigoureusement identiques à la première, sur les bords extérieurs de cette figure. C'est un peu comme s'il construisait un échafaudage autour des carrés.

Intervenant 11:56

Attendez, c'est comme s'il ajoutait délibérément de nouvelles pièces à un puzzle familier, juste pour forcer l'apparition de formes inédites ?

Intervenant 22:04

C'est une excellente analogie, oui.

Intervenant 12:05

Mais le but, c'est de prouver une relation précise sur la figure de base, non ? S'il ajoute des pièces supplémentaires comme ça, il fausse pas complètement le calcul initial.

Intervenant 22:14

On pourrait croire que si, mais la démarche est très différente. Ces nouvelles pièces, elles viennent pas brouiller le calcul. Elles servent d'étalons de mesure. En les ajoutant et en traçant deux simples lignes pour encadrer le tout, il crée deux immenses blocs géométriques qu'il va pouvoir comparer. L'idée, ce n'est plus de calculer, c'est de peser visuellement les surfaces.

Intervenant 12:36

Comme sur une balance géométrique en fait.

Intervenant 22:38

C'est ça.

Intervenant 12:39

Et comment ça fonctionne concrètement avec ces gros blocs ?

Intervenant 22:42

Alors, prenons le premier grand bloc qu'il a formé. Si on l'observe bien, il contient le grand carré de l'hypoténuse plus nos deux équerres de départ. De Vinci démontre qu'en faisant simplement pivoter une moitié de ce bloc d'un demi-tour...

Intervenant 12:55

Comme on ferait tourner une aiguille de montre.

Intervenant 22:57

Exactement. Eh bien, les deux moitiés se superposent à la perfection.

Intervenant 13:01

Ah, ce qui prouve par la simple observation que les deux parties sont égales.

Intervenant 23:05

Voilà. Et ça permet de définir la surface totale de ce premier bloc. Ensuite, il regarde le second bloc de l'autre côté de la figure. Mais cette fois, la rotation, ça ne marche pas. Il utilise alors une autre transformation spatiale, donc la symétrie.

Intervenant 13:19

C'est-à-dire qu'on plie virtuellement la figure en deux, comme une feuille de papier, et les formes coïncident.

Intervenant 23:24

C'est exactement ça. Et le secret se révèle quand on regarde de quoi est composé ce second bloc. Il contient très précisément les deux petits carrés, plus nos deux fameux équerres supplémentaires qu'on avait ajoutés pour l'échafaudage.

Intervenant 13:37

Oh, je vois la ruse ! On a donc d'un côté de notre balance le grand carré avec deux équerres, et de l'autre côté les deux petits carrés avec deux équerres aussi.

Intervenant 23:48

C'est ça.

Intervenant 13:49

Et puisque la géométrie du pliage et de la rotation prouvent que ces deux grands ensembles sont parfaitement égaux…

Intervenant 23:56

Ben, que se passe-t-il si on retire les équerres ?

Intervenant 13:58

Donc si l'on retire conceptuellement ces deux triangles de chaque côté de notre balance visuelle, l'égalité stricte entre le grand carré et la somme des deux petits carrés apparaît d'elle-même.

Intervenant 24:09

Et voilà.

Intervenant 14:10

Le théorème de Pythagore éprouvé. C'est fascinant d'ingéniosité.

Intervenant 24:14

Et tout ça sans jamais utiliser d'algèbre. Tout repose vraiment sur l'élégance de transformations spatiales pures. Une rotation et une symétrie. De Vinci a utilisé le mouvement pour prouver une vérité statique.

Intervenant 14:26

Ça rend la logique incroyablement concrète, presque mécanique en fait. Le théorème de Pythagore prouvé par l'élégance du mouvement.

Intervenant 24:34

Oui, cette démonstration prouve surtout que la rigueur n'a pas qu'un seul visage. L'intelligence visuelle, ça permet de résoudre un problème mathématique de manière tout aussi valide qu'une équation hyper formelle.

Intervenant 14:46

Ce qui amène une vraie question provocatrice pour clôturer notre analyse. Si le regard purement visuel et artistique d'un homme de la Renaissance a pu réinventer avec autant d'élégance la preuve d'un théorème antique, on peut se demander combien d'autres grandes vérités mathématiques actuelles n'attendent simplement qu'un regard d'artiste pour être comprises sous un tout nouvel angle géométrique.