Du diamètre terrestre aux planètes : l’échelle des distances

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginons une seconde rater l'emplacement exact de notre propre Soleil.

Intervenant 20:08

Ouais, de plus de 100 millions de kilomètres.

Intervenant 10:10

Exactement, et remettre en question toute la place de la Terre dans l'univers. Tout cela à cause d'une minuscule erreur de lecture d'un angle, genre de juste trois petits degrés.

Intervenant 20:19

C'est assez vertigineux quand on y pense.

Intervenant 10:21

Ah mais c'est fou ! Donc aujourd'hui, on s'attaque à un défi monumental dans notre grande exploration audio du jour. Comment est-ce que l'humanité a fait pour mesurer l'immensité de l'univers sans aucun outil moderne ?

Intervenant 20:35

Bah oui, parce qu'il n'y avait pas de maître ruban géant quoi.

Intervenant 10:37

Pas de laser, pas de satellite, simplement l'intellect humain, un bout de bois planté dans le sable et une maîtrise absolue de la géométrie pure.

Intervenant 20:45

Tout à fait. Et le cœur mathématique de cette enquête millénaire, ça repose sur un concept très précis, ce qu'on appelle l'échelle des distances cosmiques.

Intervenant 10:55

L'échelle des distances.

Intervenant 20:57

Voilà. En fait, l'univers est beaucoup trop vaste pour être appréhendé d'un seul coup. C'est impossible d'avoir une seule équation miracle.

Intervenant 11:05

Ouais, c'est sûr.

Intervenant 21:06

Du coup, il faut procéder par étapes, de proche en proche. Pour atteindre un barreau éloigné sur cette fameuse échelle, comme la distance d'une planète voisine par exemple, on a l'obligation mathématique de s'appuyer sur le barreau précédent.

Intervenant 11:20

Donc une distance plus courte qu'on a déjà solidement calculée, c'est ça ?

Intervenant 21:23

Exactement. C'est vraiment un principe de calibration en cascade.

Intervenant 11:27

Mais du coup, ça implique un risque énorme, non ? Parce que si le premier barreau est fragile ou si le calcul initial a une petite marge d'erreur,

Intervenant 21:35

L'erreur ne va pas juste se transmettre, elle va se multiplier de manière exponentielle à mesure qu'on grimpe l'échelle. C'est le grand danger.

Intervenant 11:43

Et logiquement, avant même de lever les yeux vers le ciel, le tout premier barreau à sécuriser, c'est notre propre vaisseau spatial, la Terre.

Intervenant 21:51

Ce qui nous ramène direct à l'Antiquité. Et là, il faut vraiment dissiper un mythe persistant.

Intervenant 11:58

Lequel ?

Intervenant 21:58

L'idée que les anciens pensaient que la Terre était plate. C'est totalement faux. Ah oui, c'est une grosse idée reçue, ça. Complètement. Les premières mentions de la rotondité de la planète, on les trouve dans des textes sacrés hindous, comme le Rig Veda. On parle d'environ 1500 ans avant notre ère.

Intervenant 12:16

Wow.

Intervenant 22:16

Et sur le plan purement observationnel, on a Aristote, au IVe siècle avant notre ère, qui en fournit une démonstration géométrique, implacable, juste en observant les éclipses lunaires.

Intervenant 12:27

Bon, décortiquons un peu tout ça, parce que c'est génial. En gros, la forme de l'ombre de la Terre projetée sur la Lune, c'est toujours un arc de cercle parfait.

Intervenant 22:37

Ouais, quelle que soit l'heure ou l'orientation de la Terre d'ailleurs. C'est ça.

Intervenant 12:42

Or, le seul objet en trois dimensions capable de projeter une ombre circulaire sous absolument tous les angles possibles,

Intervenant 22:48

c'est une sphère.

Intervenant 12:49

Exactement. Un disque plat, s'il était éclairé de biais, ça projetterait une ligne ou une ellipse. Donc, la forme s'est validée. Mais la vraie question, c'est comment on passe de l'idée de la sphère à sa taille exacte ?

Intervenant 23:00

Et c'est là qu'intervient l'expérience brillante d'Érastostène vers 276 avant notre ère. Franchement, c'est un triomphe de l'abstraction géométrique.

Intervenant 13:10

Carrément.

Intervenant 23:10

En fait, il entend parler d'un puits situé à Syène. C'est une ville du sud de l'Égypte antique. Et ce puits a une particularité incroyable. Au moment précis du midi solaire, le jour du solstice d'été, le fond est entièrement illuminé.

Intervenant 13:25

Zéro zone d'ombre sur les parois donc ?

Intervenant 23:26

Voilà. Ça signifie que les rayons du soleil tombent à la verticale absolue, le soleil est rigoureusement au zénith.

Intervenant 13:32

D'accord. Mais Aratostène, lui, il est à Alexandrie, c'est ça ?

Intervenant 23:36

Ouais, beaucoup plus au nord. Et ce même jour du solstice, à midi pile, il plante un gnomon, donc un simple bâton bien vertical, et il observe une ombre.

Intervenant 13:45

Donc le Soleil n'est pas au zénith Alexandrie.

Intervenant 23:47

C'est ça. Il mesure l'angle de cette petite ombre et il trouve environ 7 degrés. Et là, pour que le calcul fonctionne, il pose un postulat génial sur la lumière.

Intervenant 13:56

Oui, il part du principe que le Soleil est tellement loin que tous les rayons qui frappent la Terre sont strictement parallèles entre eux. C'est ça.

Intervenant 24:02

Exactement. Et là, on applique la géométrie euclidienne pure. Si on prolonge le bâton d'Alexandrie par une ligne droite jusqu'au centre de la Terre, cette ligne devient une sécante. Elle coupe les deux droites parallèles formées par les rayons solaires.

Intervenant 14:16

Ah, le fameux théorème des angles alternes internes ?

Intervenant 24:19

Et oui, on y revient. C'est

Intervenant 14:20

magnifique. Du coup, l'angle mesuré à la surface, les fameux 7 degrés, c'est exactement l'angle formé au centre de la Terre entre Sienne et Alexandrie. De simples ombres et un bout de bois, ça suffit pour mesurer une planète entière.

Intervenant 24:34

C'est d'une élégance rare. Après, il restait juste à connaître la distance entre les deux villes. Eratosthène utilise la valeur de 5000 stades.

Intervenant 14:42

Et vu qu'un cercle complet fait 360 degrés... Voilà, et que 7 degrés...

Intervenant 24:48

C'est à peu près un cinquantième de 360. Il suffit de multiplier les 5000 stades par 50.

Intervenant 14:55

Ce qui donne 250 000 stades.

Intervenant 24:57

Ouais. Et selon les estimations historiques du stade, ça nous donne un rayon terrestre d'environ 6500 km.

Intervenant 15:04

Ce qui est incroyablement proche des 6371 km réels. Mais attends, il y a quand même des énormes angles morts dans sa méthode, non ?

Intervenant 25:12

Ah bah c'est sûr.

Intervenant 15:13

Parce que pour que la règle de proportionnalité soit parfaite, il faut que Sienne et Alexandrie soient sur la même ligne de longitude. Et comment ils mesuraient 5000 stades sur un terrain accidenté ?

Intervenant 25:24

C'est vrai que là on touche un peu aux limites de l'expérience de l'époque. Sienne et Alexandrie ne sont pas tout à fait alignés, il y a un léger décalage vers l'ouest. Et pour la distance, ils comptaient sur le temps de trajet des caravanes de chameaux ou sur des bématistes.

Intervenant 15:37

Des arpenteurs professionnels, c'est ça ?

Intervenant 25:39

Oui, des gars entraînés à faire des pas d'une longueur parfaitement régulière. Ces approximations auraient pu tout fausser, mais par une chance inouïe, les petites erreurs se sont compensées mutuellement.

Intervenant 15:50

C'est fou ! Bon, on a notre premier barreau. La Terre est mesurée. Maintenant, on peut grimper sur cette échelle et viser la Lune. Et c'est Harry Stark de Samos, vers 270 avant notre ère, qui s'y colle.

Intervenant 26:03

Ouais, Harry Stark reprend le rayon terrestre d'Eratosthène. Et lui aussi, il se penche sur les éclipses lunaires.

Intervenant 16:09

Alors, la source explique qu'il utilise le temps. Il observe qu'une éclipse lunaire dure au maximum trois heures. Mais chronométrer un phénomène cosmique à cette époque, c'est un cauchemar technique, non ?

Intervenant 26:22

C'était un défi colossal, oui. Ils utilisaient des clepsydres, des horloges à eau, mais le problème de la dynamique des fluides, c'est que plus le récipient se vide, moins il y a de pression au fond.

Intervenant 16:33

Donc le débit ralentit.

Intervenant 26:35

Exactement. Le temps n'est pas mesuré de façon linéaire, mais malgré ça, il arrive à évaluer la traversée de l'ombre à environ trois heures. Ce qui est absolument fascinant ici, c'est la façon dont il déduit la taille de cette ombre.

Intervenant 16:47

Oui, parce qu'il pose encore une hypothèse qui simplifie tout.

Intervenant 26:50

Voilà. En reprenant l'idée des rayons parallèles, il présume que l'ombre de la Terre forme un cylindre parfait dans l'espace. Un cylindre qui a exactement le diamètre de notre planète.

Intervenant 17:00

Ah, d'accord. Donc, si on suit sa logique, la Lune parcourt une distance stricte d'un diamètre terrestre en 3 heures, c'est ça ?

Intervenant 27:08

C'est tout à fait ça. On est dans une pure logique de proportionnalité. S'il lui faut 3 heures pour un diamètre terrestre et qu'elle met 27 jours pour faire le tour complet de la Terre,

Intervenant 17:18

On convertit les jours en heures, on divise par 3 et on trouve 216 diamètres terrestres pour son orbite totale.

Intervenant 27:25

Exactement. Et avec la géométrie du cercle, on divise par Pi, ce qui donne un diamètre d'orbite de 70 diamètres terrestres, ce qui place la Lune à environ 450 000 kilomètres.

Intervenant 17:34

Pour une vraie valeur de 380 000 km. Franchement, c'est un excellent ordre de grandeur.

Intervenant 27:40

Ouais, même s'il y a une erreur notable.

Intervenant 17:42

Et ça vient de son histoire d'ombre en forme de cylindre, on est d'accord. Parce que le Soleil n'est pas un petit point lumineux.

Intervenant 27:47

Exactement. C'est une source de lumière sphérique et géante. L'optique nous dit qu'une source plus grande que l'objet occultant, ça génère pas un cylindre, mais un cône d'ombre qui se rétrécit.

Intervenant 17:57

Ah, donc l'ombre que traverse la Lune est en fait plus étroite qu'un diamètre terrestre.

Intervenant 28:03

Voilà, Harry Stark a surestimé la largeur de la piste, ce qui a faussé son estimation.

Intervenant 18:09

Mais le génie mathématique reste là. La Lune est conquise. Et galvanisé par ce succès, Harry Stark s'attaque au patron du système solaire, l'héli, le Soleil.

Intervenant 28:20

Et c'est là que ça devient vraiment intéressant.

Intervenant 18:22

Et très cruel pour lui, d'un point de vue mathématique.

Intervenant 28:25

La fameuse cruauté de la trigonométrie.

Intervenant 18:27

Ouais, c'est exactement ça. En fait, Harry Stark cherche un moment où la Terre, la Lune et le Soleil forment une configuration précise. Le demi-quartier de Lune.

Intervenant 28:37

Quand la Lune est exactement coupée en deux dans le ciel.

Intervenant 18:39

Voilà. À ce moment précis, la ligne de visée depuis la Terre forme un angle droit parfait avec la ligne Lune-Soleil. On a un immense triangle rectangle dans l'espace. Et grâce à la trigonométrie, si on a un triangle rectangle et qu'on connaît la distance Terre-Lune, il suffit de trouver un seul autre angle pour tout déduire.

Intervenant 28:58

Exactement ! Donc Harry Stark essaie de mesurer l'angle entre la Lune et le Soleil et il trouve 87 degrés.

Intervenant 19:06

87 degrés. Et le cosinus de 87 degrés, c'est environ 120. Donc le Soleil serait 20 fois plus loin que la Lune. Ce qui donnait environ 9 millions de kilomètres.

Intervenant 29:16

Sauf que, il s'est complètement trompé. Mais

Intervenant 19:18

genre, vraiment trompé. Le véritable angle, c'est 89,85 degrés.

Intervenant 29:23

Oui. Une petite erreur de moins de 3 degrés, ça a des conséquences cataclysmiques. Bon, l'erreur humaine est super compréhensible. La Lune est couverte de cratères. La ligne d'ombre est hyper floue. Et puis, le Soleil est sous l'horizon quand on regarde la demi-Lune la nuit.

Intervenant 19:37

C'est clair. Mais le vrai drame, c'est le comportement du cosinus quand il s'approche de 90 degrés. C'est pas du tout une courbe douce. Plus on approche de l'angle droit, plus ça plonge vers zéro, comme une falaise.

Intervenant 29:49

C'est un gouffre multiplicatif. Passer de 87 à 89,85°, ça fait passer le multiplicateur de 20 à près de 400 ! C'est

Intervenant 110:00

fou. L'échelle des distances se brise complètement. Le Soleil est en réalité à plus de 150 millions de kilomètres, pas 9 millions.

Intervenant 210:07

Mais, et c'est une conclusion majeure, cette erreur cache une vraie révolution. Parce que, même avec son erreur, Harry Stark réalise un truc. Si le Soleil est à la même taille apparente que la Lune dans notre ciel, mais qu'il est 20 fois plus loin...

Intervenant 110:22

Il est 20 fois plus grand physiquement.

Intervenant 210:23

Exactement. Et si on avait eu les bonnes valeurs, il aurait trouvé qu'il est 400 fois plus grand. Dans les deux cas, le Soleil est un monstre absolu.

Intervenant 110:32

Et c'est ça qui pousse Harry Stark à douter du géocentrisme, non ? Ça devient illogique de faire tourner une boule de feu ginantesque autour d'un petit caillot comme la Terre.

Intervenant 210:42

Tout à fait, c'est la première hypothèse héliocentrique. Mais l'erreur sur le Soleil bloque notre échelle. Il faudra attendre Copernic et Kepler pour débloquer la situation, des siècles plus tard.

Intervenant 110:53

Ah, avec l'unité astronomique.

Intervenant 210:55

Oui. Copernic comprend qu'il peut calculer les distances relatives des planètes en utilisant leurs angles. Pour Vénus, quand elle est visuellement le plus éloignée du Soleil dans notre ciel, ça crée un triangle rectangle.

Intervenant 111:06

Et on utilise le sinus pour obtenir le rapport exact entre la distance Soleil-Vénus et Soleil-Terre. C'est magnifique. On a toutes les proportions du système solaire.

Intervenant 211:17

Ouais, mais il manque toujours l'échelle. On a le plan, mais on ne sait pas si c'est en centimètres ou en kilomètres.

Intervenant 111:23

D'où l'invention de l'unité astronomique. La distance Terre-Soleil devient 1. Et tout le reste est calculé par rapport à ça. C'est une super pirouette algébrique. Mais comment on a fini par trouver la vraie valeur en kilomètres ?

Intervenant 211:36

Ça, c'est l'idée géniale d'Edmund Halley, au début du XVIIIe siècle. Il propose d'utiliser le transit de Vénus. Quand Vénus passe exactement devant le Soleil, comme un petit point noir.

Intervenant 111:46

Ah, la méthode de la parallaxe !

Intervenant 211:48

Voilà, c'est l'effet d'optique, où un objet semble se déplacer par rapport au fond si on le regarde depuis deux endroits différents. Si on relie cela à la vue d'ensemble, ça va déclencher la première World Cup de la science.

Intervenant 112:00

Mais carrément !

Intervenant 212:01

L'événement de 1761, une collaboration mondiale sans précédent.

Intervenant 112:05

Plus de 120 expéditions, des centaines d'astronomes voyagent partout sur des navires bravant les tempêtes, les guerres. Tout ça pour chronométrer un point noir sur le Soleil depuis différents endroits sur Terre. Parce que selon qu'on est au nord ou au sud, Vénus traverse une portion différente du disque solaire. Ce qui change la durée du transit, c'est bien ça.

Intervenant 212:24

C'est exactement ça. Mais bon, ils ont été confrontés à un enfer optique, l'effet de la goutte noire. Un halo sombre qui déformait le point de contact, rendant le chronométrage super compliqué.

Intervenant 112:35

Mais ils ont persisté. En 1769, ils ont affiné les méthodes et cette belle convergence scientifique a payé. C'est Johan Franz Ancke qui finit par compiler tout ça, non ?

Intervenant 212:46

Oui, il publie un résultat de 153 millions de kilomètres. Ce

Intervenant 112:50

qui est incroyablement proche des 140 à 150 millions réels. La clé de voûte est enfin posée.

Intervenant 212:56

Et tous les barreaux de l'échelle trouvent leur vraie valeur en kilomètres instantanément.

Intervenant 112:59

C'est génial ! Bon, bien sûr, aujourd'hui, on est passé à une autre dimension. On utilise des radars pointés sur le Soleil ou les planètes.

Intervenant 213:08

Et pour la Lune, c'est encore plus fou. Avec les réflecteurs posés par l'émission Apollo, on tire des lasers depuis la Terre. On connaît la distance au millimètre près. Ce

Intervenant 113:17

qui a d'ailleurs permis de prouver que la Lune s'éloigne de nous d'environ 4 cm par an. Alors, au bout du compte, qu'est-ce que tout seul signifie ?

Intervenant 213:25

Ça montre que la rigueur de la géométrie est vraiment le langage fondamental de l'univers. Ça valide l'ingéniosité incroyable des anciens, tout en montrant la précision féroce des maths. Une erreur de 3 degrés et ta vision du cosmos bascule.

Intervenant 113:39

C'est clair. Au passage, ce texte fascinant qui a inspiré notre discussion d'aujourd'hui a remporté le prix Tangente du meilleur article en 2021. Ouais,

Intervenant 213:48

un prix très mérité. Et ça me donne d'ailleurs une réflexion vertigineuse pour clore tout ça.

Intervenant 113:54

Vas-y, dis-nous.

Intervenant 213:56

On sourit aujourd'hui en imaginant les bâtons plantés par Eratosthène ou l'erreur de Cosinus d'Aristarque. Mais imaginez un instant. Quels sont les outils que nous utilisons avec fierté aujourd'hui pour sonder le cosmos et qui feront gentiment sourire les astronomes dans 2000 ans ? Tout en forçant leur respect pour notre ingéniosité, bien sûr.

Intervenant 114:14

Oh waouh ! C'est une excellente question, ça. Ça permet de garder l'humilité nécessaire à toute démarche scientifique. Merci beaucoup de nous avoir accompagnés sur cette échelle des distances vertigineuses et à très bientôt pour une nouvelle plongée analytique dans l'inconnu de la science et des mathématiques.