Projection stéréographique : l’enquête de la Bourse

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Merci, je suis vraiment ravi d'être là.

Intervenant 10:04

Alors, pour commencer cette nouvelle exploration, imaginons un instant une petite mission complètement impossible.

Intervenant 20:11

J'adore les missions impossibles en géométrie.

Intervenant 10:14

Prendre une orange, l'éplucher pour récupérer sa peau en un seul morceau et ensuite essayer de l'aplatir parfaitement sur une table sans la déchirer ni la froisser.

Intervenant 20:25

C'est physiquement et surtout géométriquement absolument impossible.

Intervenant 10:29

Totalement impossible, oui. Et pourtant, depuis des siècles, des esprits super brillants tentent de faire très exactement ça avec notre planète.

Intervenant 20:37

C'est le grand drame de la cartographie,

Intervenant 10:39

en fait. C'est ça. Bienvenue à l'écoute de cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques où on prouve, une fois de plus, que la géométrie se cache vraiment dans les endroits les plus inattendus pour tenter de résoudre l'irrésoluble.

Intervenant 20:52

Absolument.

Intervenant 10:53

Et aujourd'hui, l'aventure commence en plein cœur de Paris pour se terminer carrément dans les lois fondamentales de la cour dure spatiale.

Intervenant 21:01

Un sacré voyage.

Intervenant 11:01

Ouais, le point de départ, alors, c'est la bourse de commerce.

Intervenant 21:06

Ah, un lieu fascinant pour démarrer une telle enquête mathématique. Depuis sa rénovation par l'architecte Tadao Ando, on y trouve ce gigantesque cylindre de béton brut qui s'élève sous une immense verrière du XIXe siècle. La lumière est

Intervenant 11:20

incroyable d'ailleurs.

Intervenant 21:22

Magnifique, oui. Et sous la coupole, il y a une fresque monumentale qui célèbre le commerce mondial.

Intervenant 11:28

Sauf que, attention, notre regard ne va absolument pas s'attarder sur cette coupole vertigineuse.

Intervenant 21:34

Non, pas du tout.

Intervenant 11:35

L'œil mathématique va plutôt se poser dans une pièce beaucoup plus discrète, au rez-de-chaussée, qui abrite la collection Pinot.

Intervenant 21:42

Voilà.

Intervenant 11:43

Et au milieu de toutes ces œuvres contemporaines, il y a un tableau très étrange. Un tableau inachevé qui date de 1865.

Intervenant 21:49

Exactement. C'est une carte du monde peinte en deux immenses disques par un artiste qui, ce jour, reste complètement anonyme.

Intervenant 11:59

Et le vrai mystère, c'est pas vraiment l'anonymat du peintre, c'est son tracé.

Intervenant 22:03

C'est là que ça devient intrigant. Quand on a l'habitude des planisphères classiques, ces grands rectangles souvent basés sur la projection de Mercator.

Intervenant 12:10

Où le Groenland a l'air presque aussi gigantesque que toute l'Afrique, genre.

Intervenant 22:15

C'est ça, une aberration visuelle totale. Eh bien, cette peinture de la Bourse de commerce frappe tout de suite par sa différence.

Intervenant 12:21

Ah oui, clairement.

Intervenant 22:23

Ici, le Groenland conserve une proportion beaucoup plus proche de la réalité. Le pôle Nord, ce n'est pas une longue ligne étirée sur toute la largeur supérieure du tableau, il est représenté par un point unique.

Intervenant 12:34

Ok, décortiquons un peu tout ça. Parce que la toute première pensée qui vient d'à l'esprit quand on voit la Terre représentée dans un cercle parfait comme ça, c'est de se dire, c'est visuel, c'est intuitif.

Intervenant 22:46

Une sorte de vue de l'esprit, oui.

Intervenant 12:48

Genre comme si on prenait un simple selfie de la Terre depuis l'espace quoi. Si un satellite prend une photo, bim, on obtient un beau disque bleu. On pourrait se dire que l'artiste de 1865 a simplement imaginé cette vue spatiale bien avant l'invention des fusées.

Intervenant 23:04

L'intuition de la photographie spatiale est super séduisante. En géométrie, ça porte même un nom, c'est la projection centrale ou projection conique.

Intervenant 13:12

D'accord.

Intervenant 23:13

Le mécanisme est d'ailleurs assez simple à modéliser. Le centre de la projection, on va dire que c'est l'objectif de notre appareil photo. Il est situé à une distance finie de la Terre.

Intervenant 13:22

Dans le vide ?

Intervenant 23:23

En orbite ? Voilà. Les rayons lumineux rebondissent sur la surface de la planète, voyagent dans le vide et convergent vers cet objectif en formant un immense cône.

Intervenant 13:33

D'où le terme « conique ».

Intervenant 23:35

Exactement. L'image est ensuite captée sur une surface plane, perpendiculaire à l'axe de vision.

Intervenant 13:41

Mais, et c'est là que j'ai un doute, est-ce qu'une simple photo comme ça permet vraiment d'obtenir un hémisphère complet tel qu'il est dessiné sur notre tableau parisien ? Ah ! Parce que si je tiens, disons, une orange ou une sphère dans ma main et que je la regarde de près, j'ai vraiment l'impression que les bords fuient, je ne vois pas la moitié parfaite.

Intervenant 23:58

Et c'est la première grande faille de cette hypothève. L'observateur, s'il est situé dans l'espace à une distance définie, il ne verra jamais la moitié exacte de la planète. C'est une pure impossibilité physique à cause de l'horizon de courbure.

Intervenant 14:12

Donc le fameux selfie spatial ne marche pas.

Intervenant 24:14

Non, car plus on s'approche des bords apparents de la sphère, plus la surface fuit vers l'arrière, comme vous le disiez. L'image capturée représentera toujours moins de 50% du globe.

Intervenant 14:25

Ah ouais, logique.

Intervenant 24:26

Mais il y a un argument encore plus destructeur pour cette théorie de la photo. C'est la forme que prendraient les lignes imaginaires de la Terre sur le plan.

Intervenant 14:34

Vous parlez des méridiens et des parallèles.

Intervenant 24:36

Oui. Que leur arriverait-il au moment de traverser l'objectif photographique ?

Intervenant 14:41

Ils seraient déformés.

Intervenant 24:43

Les mathématiques des sections coniques sont impitoyables. Si l'on projette une grille sphérique vers un point central, puis sur un plan, on réalise ce qu'on appelle la section bornée d'un cône par un plan incliné.

Intervenant 14:54

D'accord. Et visuellement, ça donne quoi ?

Intervenant 24:56

Eh bien, le résultat visuel de cette intersection, c'est pas un cercle, c'est obligatoirement une ellipse. Les lignes de notre belle grille géographique, elles s'étireraient, elles s'aplatiraient, inévitablement.

Intervenant 15:09

Et c'est là que le mystère s'épaissit grave, et que l'observation fine prend tout son sens.

Intervenant 25:13

Oui, quand on regarde l'œuvre de près.

Intervenant 15:15

Voilà, quand on s'approche vraiment de cette double toile inachevée et qu'on scrute les lignes rouges et bleues de la grille, particulièrement près des pôles, figurez-vous qu'on ne trouve aucune ellipse.

Intervenant 25:27

Aucune. Zéro.

Intervenant 15:28

Les méridiens et les parallèles dessinés par notre artiste mystère sont des cercles absolument parfaits.

Intervenant 25:33

Ce qui est fascinant ?

Intervenant 15:34

On pourrait se dire, c'est juste une facilité artistique, genre il a pris un compas parce que c'est plus joli sur la toile.

Intervenant 25:39

Mais l'espacement rigoureux de ces lignes prouve complètement le contraire. Il ne s'agit pas d'un dessin fait à main levée ou au feeling, c'est une construction mathématique d'une grande pureté.

Intervenant 15:51

Ce n'est donc absolument pas une photo de l'espace. La théorie tombe à l'eau.

Intervenant 25:55

Totalement. La présence formelle de ces cercles change la donne. Puisque ce réseau géométrique exclut l'idée d'un point de vue extérieur éloigné, la géométrie nous dicte qu'il faut changer radicalement la position de notre observateur. Où est-ce

Intervenant 16:08

qu'on le met

Intervenant 26:09

alors ? Pour que ce croisement super complexe de la sphère se transforme en une symphonie de cercles sur un plan, il n'y a qu'une seule solution. Et elle est d'une élégance rare.

Intervenant 16:18

Le suspense est insoutenable.

Intervenant 26:20

Le centre de projection, donc notre fameux œil virtuel, ne doit pas flotter au loin dans l'espace. Il doit se trouver, attention, sur la surface même de la sphère.

Intervenant 16:31

Sur la Terre ?

Intervenant 26:32

Dessus. C'est le principe fondateur de la projection stéréographique.

Intervenant 16:36

Oh là là, c'est là que ça devient vraiment intéressant. Ok, pour qu'on puisse bien visualiser la scène, on va s'y prendre avec une image mentale.

Intervenant 26:44

Allez-y.

Intervenant 16:45

Imaginons que notre Terre soit un immense globe en verre, un globe totalement creux et super transparent. D'accord. Les continents sont peints sur la paroi, mais à l'extérieur. Maintenant, on vient coller notre œil très précisément contre la paroi intérieure de ce globe en verre.