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21 févr. 2023 · 6 min

Problème de Catalan : 158 ans pour isoler 8 et 9

Dans cet épisode, suivez les étapes qui mènent de la conjecture de 1844 à la preuve que 8 et 9 sont les seules puissances exactes consécutives.

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  1. Intervenant 1

    Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on fait une vraie plongée au cœur d'un dossier mathématique absolument fascinant.

  2. Intervenant 2

    Un dossier sur une énigme vraiment trompeuse, en fait.

  3. Intervenant 1

    C'est ça, la fameuse conjecture de Catalan.

  4. Intervenant 2

    Formulée en 1844 et qui a résisté aux mathématiciens pendant plus d'un siècle et demi.

  5. Intervenant 1

    Exactement. Le paradoxe, c'est que les questions les plus simples en arithmétique, c'est souvent des vrais murs de briques.

  6. Intervenant 2

    Oui, on a l'impression qu'un enfant pourrait la comprendre.

  7. Intervenant 1

    Bah oui, parce que ça s'intéresse juste aux puissances exactes, genre les carrés ou les cubes. En gros, le mathématicien Eugène Catalan, il a juste remarqué que le 8 et le 9 se suivent.

  8. Intervenant 2

    8 qui est 2 au cube et 9 qui est 3 au carré. Voilà. Et il a affirmé que ce sont les deux seuls nombres entiers consécutifs qui sont des puissances. Donc, l'équation avec une puissance moins une autre puissance qui est égale à 1, elle n'admet qu'une unique solution.

  9. Intervenant 1

    C'est quand même fou de se dire ça. Moi, pour bien visualiser, j'aime bien l'idée, tu sais, des maisons.

  10. Intervenant 2

    Ah, la fameuse analogie.

  11. Intervenant 1

    Ouais, c'est comme chercher deux maisons mitoyennes dans un quartier infini. Et ces maisons, ce sont nos puissances. Sauf que plus on avance dans la rue, plus elles sont construites loin les unes des

  12. Intervenant 2

    autres. C'est une

  13. Intervenant 1

    super image. Du coup, on a trouvé le 8 et le 9, mais l'infini, c'est vaste. On ne peut pas juste marcher indéfiniment en toquant à toutes les portes pour vérifier s'il n'y a pas d'autres voisins cachés.

  14. Intervenant 2

    Bah non, c'est impossible. Même un ordinateur, il peut pas calculer jusqu'à l'infini. Donc pour prouver que le 8 et le 9 sont vraiment les uniques voisins, faut complètement changer d'approche.

  15. Intervenant 1

    Prendre une vue satellite, en quelque

  16. Intervenant 2

    sorte. C'est ça.

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