Paul Erdős : appels du bout du monde et réveils nocturnes

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bonjour à toutes les personnes qui nous écoutent aujourd'hui. On est vraiment ravis de démarrer cette nouvelle exploration intellectuelle avec une énergie au maximum.

Intervenant 20:11

Salut Sam. Oui, une exploration qui s'annonce particulièrement dense, je dirais.

Intervenant 10:18

Absolument dense. Et d'ailleurs, pour rentrer direct dans le vif du sujet, j'aimerais utiliser une petite métaphore. En général, quand on pense au diagnostic médical, on s'attend à une précision clinique, limite binaire quoi.

Intervenant 20:30

Oui, le fameux soit on a le bras cassé, soit on ne l'a pas.

Intervenant 10:33

Exactement. La radio montre une fracture ou pas de fracture. Et on aime bien cette logique. Ça nous rassure parce que ça donne l'illusion de contrôler la complexité du monde en rangeant chaque problème dans une case bien définie.

Intervenant 20:46

C'est rassurant, oui. C'est compartimenté.

Intervenant 10:49

Sauf que si on applique cette vision super étriquée aux mathématiques, on passe complètement à côté des découvertes les plus vertigineuses. Et la mission de notre discussion aujourd'hui, ce n'est pas de faire une biographie scolaire bien sage, pas du tout. On va plonger littéralement dans les rouages d'un cerveau qui refusait d'isoler les problèmes.

Intervenant 21:08

Le cerveau de Paul Erdős.

Intervenant 11:10

Paul Erdős, oui. L'un des mathématiciens les plus prolifiques, mais aussi les plus atypiques de toute l'histoire. Et pour vraiment décortiquer sa méthode, on va s'appuyer sur un témoignage incroyable, celui de ses travaux avec un de ses collaborateurs français, Gérald Tenenbaum.

Intervenant 21:25

Et cette collaboration, c'est vraiment une fenêtre d'observation redoutable pour nous. Parce qu'Erdős, il n'a jamais bossé enfermé dans une tour d'ivoire avec son petit tableau noir.

Intervenant 11:35

Non, ça c'était pas du tout son genre.

Intervenant 21:36

Le gars vivait dans un nomadisme perpétuel. Il sautait d'une université à l'autre avec genre deux valises à moitié vide.

Intervenant 11:43

Deux valises ? C'est fou !

Intervenant 21:45

Ouais. Et il a construit une œuvre monumentale grâce à des milliers de collaborations. Mais avec Tenenbaum, ce qui est fascinant, c'est le changement total de paradigme. Au lieu de regarder les nombres un par un, il pratiquait ce qu'on appelle l'anatomie des nombres, une espèce de dissection à l'échelle de l'infini.

Intervenant 12:04

C'est ça. Et cette idée d'anatomie des nombres, franchement, ça demande un effort d'imagination assez brutal quand on n'est pas dedans.

Intervenant 22:10

C'est clair.

Intervenant 12:11

Au lieu de prendre un entier, je ne sais pas, disons le nombre 28, et de le regarder sous toutes les coutures pour voir s'il est parfait ou s'il a des propriétés sympas, ils ont décidé de traiter les entiers comme on traiterait

Intervenant 22:22

une population humaine tout entière. Les nombres et la théorie des probabilités.

Intervenant 12:25

Ah oui, alors là, historiquement, c'est deux trucs qu'on pensait quand même à des années-lumières l'un de l'autre, non ?

Intervenant 22:30

Totalement. La théorie des nombres, c'est le déterminisme absolu. Un nombre premier, c'est un nombre premier, point final. Il n'y a pas de hasard là-dedans.

Intervenant 12:38

Oui, alors que les probabilités, c'est littéralement l'étude du hasard, des lancers de dés, des variables aléatoires.

Intervenant 22:43

Exactement. Et l'idée de Génie, ça a été d'utiliser les outils du hasard pour décrire ce qu'ils ont appelé un entier normal.

Intervenant 12:50

Alors attends, le mot « normal » en maths, il a toujours un sens un peu caché. Je suppose qu'on ne parle pas d'un nombre qui paye ses impôts à l'heure, quoi.

Intervenant 22:58

Non, pas vraiment

Intervenant 12:59

non. Si on est dans les probabilités, on cherche à savoir comment se comporte l'immense majorité des nombres quand on tend vers l'infini. C'est ça.

Intervenant 23:06

On cherche des tendances globales.

Intervenant 13:08

C'est en plein ça. En probabilité, on appelle ça une variable presque sûre. C'est-à-dire qu'on abandonne les exceptions, aussi fascinantes soient-elles, pour regarder la masse. Et les résultats, ils donnent le vertige.

Intervenant 23:19

Vas-y, donne-nous un exemple contraire pour

Intervenant 13:21

voir. Prenons la notion de diviseur. La théorie démontre que la suite des nombres entiers, qu'on appelle n, qui ont moins de logarithmes népériens de n diviseurs, eh bien cette suite, elle est de densité 1. Ouh là ! On va faire une petite pause technique sur ce concept de densité 1, parce que c'est une abstraction qui mérite d'être bien décortiquée.

Intervenant 23:40

Vas-y, je t'écoute.

Intervenant 13:42

Si je traduis ça visuellement, imagine, on a un sac immense contenant une infinité de nombres entiers.

Intervenant 23:48

D'accord.

Intervenant 13:49

Et on pioche dedans à l'aveugle, complètement au hasard. Eh bien, on a 100% de chance de tomber sur un nombre qui respecte cette fameuse règle du logarithme népérien de n diviseurs.

Intervenant 23:59

C'est exactement l'idée.

Intervenant 14:00

Ça veut dire que les nombres qui ne respectent pas la règle, ils existent, on est d'accord, mais ils sont tellement dilués dans l'océan de l'infini qu'ils pèsent statistiquement zéro.

Intervenant 24:10

Ta traduction avec le sec marche super bien. Et attends, parce que la règle se corse.

Intervenant 14:14

Ah, toujours plus loin.

Intervenant 24:15

Bah oui. Si on regarde cette fois les facteurs premiers, donc les briques fondamentales qui composent un nombre par multiplication, la suite des entiers ayant au moins la moitié de logarithme népérien du logarithme népérien de n, facteur premier, elle est aussi de densité 1. Ah ouais,

Intervenant 14:31

le logarithme du logarithme. C'est cette répétition qui rend la chose fascinante.

Intervenant 24:37

Pourquoi tu dis ça ?

Intervenant 14:38

Parce que la fonction logarithme, de base, elle croît déjà hyper lentement. Mais alors, le logarithme du logarithme, ça avance à la vitesse d'un glacier.

Intervenant 24:46

C'est une bonne

Intervenant 14:47

image. C'est fou ! Si on prend un nombre gigantesque, genre 10 puissance 80, ce qui correspond à peu près au nombre d'atomes dans tout l'univers observable, eh ben, son logarithme de logarithmes, ça reste un chiffre minuscule, genre 5 ou 6.

Intervenant 25:02

Tout à fait.

Intervenant 15:03

Donc, ce que cette « densité 1 » nous raconte, en fait, c'est que la quasi-totalité des nombres, même ceux qui sont monstrueusement grands, y sont construits à partir d'une poignée vraiment dérisoire de briques premières.

Intervenant 25:16

C'est exactement ça. Et cet ordre incroyable, il ne s'arrête pas là. Ce portrait robot de la population des Antillais s'appuie sur une fondation spectaculaire, le théorème d'Erdős Katz de 1939.

Intervenant 15:28

1939, ouais. Un grand classique.

Intervenant 25:30

Oui. Et ce théorème, il affirme que la répartition des facteurs premiers d'un entier suit une loi de Gauss.

Intervenant 15:37

Ma fameuse courbe en cloche ?

Intervenant 25:38

Exactement, celle qu'on retrouve partout dans la nature. De la taille des gens dans la rue jusqu'aux erreurs de mesure en physique. Les facteurs premiers des entiers s'organisent avec une régularité statistique indéniable. On trouve une harmonie parfaite, une cloche, là où on s'attendait à trouver le désordre d'une multiplication infinie.

Intervenant 15:56

Ouais, mais tu sais quel est le problème avec ces courbes en cloche bien sages ?

Intervenant 26:00

Dis-moi.

Intervenant 16:02

C'est qu'elles cachent souvent des pampettes en dessous.