Une droite peut-elle éviter tout point à coordonnées entières ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour tout le monde.

Intervenant 10:04

Alors aujourd'hui on va parler de géométrie. Mais attention, pas la géométrie ennuyeuse qu'on a tous un peu subie au collège.

Intervenant 20:12

Non, c'est clair, on est sur quelque chose de beaucoup plus vertigineux.

Intervenant 10:16

Exactement. Imaginons un instant une ligne parfaitement droite. Une ligne tracée à la règle qui s'étendrait à l'infini à travers tout l'univers.

Intervenant 20:24

D'accord, je visualise.

Intervenant 10:25

Eh bien, si on superpose à cet univers une immense grille mathématique, une grille d'une précision absolue, quelle est la probabilité que cette ligne ne croise absolument aucun croisement de la grille sur son passage ?

Intervenant 20:37

Ou au contraire, qu'elle en percute une infinité ?

Intervenant 10:40

Voilà, c'est ce vertige conceptuel qu'on va explorer aujourd'hui. On plonge dans les notes d'un document super fascinant qui s'intitule « Point entier sur une droite ».

Intervenant 20:49

Un titre très sobre pour un sujet qui ne l'est pas du tout.

Intervenant 10:52

C'est ça. L'objectif de notre émission, c'est de montrer que derrière une action aussi basique que tracer une ligne, il se cache des énigmes redoutables.

Intervenant 21:00

Le document opère une bascule assez violente en fait. Il prend cet objet basique, la droite, classique, qui relie deux points par le chemin le plus court, et il l'arrache littéralement à son environnement naturel.

Intervenant 11:12

Ok, décortiquons un peu tout ça. Parce que pour bien comprendre cette violence dont vous parlez, il faut se rappeler ce qu'est une droite dans le monde continu de l'espace euclidien.

Intervenant 21:21

Tout à fait. L'espace continu, c'est notre zone de confort.

Intervenant 11:24

Le document insiste tout de suite sur un point fondamental. Une droite réelle contient un nombre infini de points. Mais pas n'importe quel infini.

Intervenant 21:32

Non, un infini qualifié de non dénombrable.

Intervenant 11:35

Et ça, pour ceux qui nous écoutent, c'est un terme qui fait un peu

Intervenant 21:38

peur. La nuance est vraiment le cœur du problème. Dire qu'une droite contient une infinité de points, ça semble évident.

Intervenant 11:45

Bien sûr.

Intervenant 21:45

Mais le terme « non dénombrable », ça indique une densité presque terrifiante. Ça veut dire qu'on ne peut même pas lister ces points les uns après les autres.

Intervenant 11:54

Genre faire une liste, 1, 2, 3, c'est impossible.

Intervenant 21:57

Exactement. Entre les coordonnées 1 et 2 d'un axe, il y a déjà une infinité de fractions.

Intervenant 12:03

Ouais, 1,5, puis 1,25, etc.

Intervenant 22:07

Et entre ces fractions, il y a encore une autre infinité de nombres irrationnels. Le tissu de la droite est tellement serré qu'il n'y a aucun vide. Zéro.

Intervenant 12:16

Pour imager ça, on pourrait comparer cette géométrie continue à un trait d'encre parfaitement lisse sur du papier.

Intervenant 22:22

C'est une bonne image.

Intervenant 12:23

Peu importe combien on zoome sur ce trait avec un microscope, on trouvera toujours de l'encre. Il n'y a aucune coupure.

Intervenant 22:30

Absolument. Chaque coordonnée imaginable possède une incarnation physique sur cette ligne.

Intervenant 12:36

C'est ça le monde continu. Mais là, notre document décide soudainement de changer les règles du jeu. Il applique ce qu'il appelle la géométrie discrète.

Intervenant 22:44

Ce qui est fascinant ici, c'est que la géométrie discrète agit comme un filtre ultra drastique.

Intervenant 12:49

Un filtre qui supprime des choses...

Intervenant 22:52

Voilà ! Dans cette nouvelle matrice, l'observateur devient en gros aveugle à la continuité. Le texte nous dit de ne garder que les adresses très précises, les points entiers.

Intervenant 13:02

C'est-à-dire les points sans aucune virgule.

Intervenant 23:04

Exactement ! On ne veut que des coordonnées dont le X et le Y sont des entiers parfaits. 3 et 4, oui, mais 3,1 et 4, non.

Intervenant 13:12

Du coup, c'est un peu comme si on posait une immense grille de mots croisés sur notre monde euclidien.

Intervenant 23:16

C'est exactement ça. Ou un quadrillage de Calibé-Collier.

Intervenant 13:21

La ligne continue, elle traverse toujours cette grille. Mais nous, on ne s'intéresse qu'au moment exact où elle pile sur les intersections du quadrillage.

Intervenant 23:28

Et cette contrainte, ça change absolument tout.

Intervenant 13:31

Ah ben, j'imagine. Si la ligne passe par la coordonnée 3,0001, elle est ignorée.

Intervenant 23:37

Totalement ignorée.