Pile ou face : D’Alembert avait-il vraiment tort ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, ravi de retrouver tout le monde aujourd'hui pour une nouvelle plongée au cœur de l'histoire des mathématiques.

Intervenant 20:08

Bonjour ! Et oui, une plongée qui va nous faire voir un jeu d'enfant sous un tout autre angle.

Intervenant 10:13

Exactement. Parce qu'on va partir d'une situation d'une banalité, bah absolue. Si on jette une pièce de monnaie en l'air, la probabilité d'obtenir face, c'est une chance sur deux. C'est une certitude quoi. Une loi mathématique immulable sur laquelle on pourrait, je sais pas, bâtir des empires.

Intervenant 20:31

Oui, c'est la base de la base.

Intervenant 10:32

Mais que se passerait-il si cette évidence mathématique entrait en collision frontale avec le temps qui s'écoule ? Notre exploration du jour s'appuie sur un article vraiment fascinant qui s'intitule « D’Alembert et pile ou face, une querelle historique ».

Intervenant 20:48

Un article très riche qui revient sur une controverse assez méconnue mais fondamentale.

Intervenant 10:53

Voilà. Et la mission aujourd'hui, c'est de décortiquer cette querelle du XVIIIe siècle. On va chercher à comprendre si l'immense Jean Leron d'Alembert, l'un des cerveaux les plus brillants de son époque, s'est ridiculement trompé sur un simple jeu de pile ou face. Ou si, au contraire, il avait une vision des probabilités avec deux siècles d'avance sur tout le monde.

Intervenant 21:13

Et pour bien comprendre, le contexte de cette controverse, c'est vraiment crucial. On est au milieu du 18e siècle et D’Alembert, ce n'est pas un savant de seconde zone. Il est membre des académies les plus prestigieuses et surtout, il est le co-directeur de la fameuse encyclopédie avec Diderot.

Intervenant 11:30

C'est l'autorité intellectuelle suprême de l'époque.

Intervenant 21:32

Absolument, c'est le sommet. Or, en 1754, il publie un article qui s'appelle « Croix ou Pile » dans le tout premier tome de la partie mathématique de l'encyclopédie. Et ce texte va déclencher une véritable tempête académique.

Intervenant 11:46

Alors, remettons un peu les choses à plat pour que tout le monde suive. Le jeu en question, croix ou pile, c'est simple, ça consiste à lancer une pièce en deux coups maximum. Dès qu'on obtient croix, on gagne et le jeu s'arrête. Et la question posée par l'article, c'est juste de savoir quelles sont les chances de victoire. Sauf que la théorie classique, celle des Bernoulli, de Laplace, celle qu'on enseigne encore aujourd'hui d'ailleurs, elle semble imparable. On raisonne sur quatre combinaisons pour Delancey.

Intervenant 22:12

Oui, les quatre branches de l'arbre des probabilités.

Intervenant 12:15

Voilà, on peut faire croix au premier et pile au second. On peut faire croix puis croix, on peut faire pile puis pile ou le dernier pile au premier et croix en second.

Intervenant 22:26

De la combinatoire pure. Quatre scénarios abstraits, tous mis strictement sur le même plan.

Intervenant 12:31

Et sur ces quatre scénarios, on est d'accord qu'il y en a trois qui contiennent au moins un résultat croix. Il n'y a qu'un seul scénario perdant, c'est le double pile, donc le calcul est élémentaire. Trois chances de gagner contre une seule de perdre.

Intervenant 22:43

Donc une probabilité de victoire de 75%.

Intervenant 12:45

Oui, 75%. Alors comment D’Alembert, un maître absolu de l'analyse, a pu contester un truc aussi basique ?

Intervenant 22:53

Mais en fait, il le conteste parce qu'il refuse de séparer le calcul mathématique de la réalité physique. C'est ça son truc. D’Alembert regarde ces quatre scénarios et il s'arrête direct sur les deux premiers, croix-pile et croix-croix.

Intervenant 13:07

D'accord.

Intervenant 23:07

Et il fait remarquer un truc hyper pragmatique. Si le joueur obtient croix au premier lancé, il a gagné, le jeu est terminé. Par conséquent, le second lancé, il n'aura jamais lieu dans le monde réel.

Intervenant 13:20

Ah, mais c'est un peu comme la règle du but en or au football en fait.

Intervenant 23:24

Exactement.

Intervenant 13:25

Dès qu'une équipe marque pendant les prolongations, le coup de sifflet retentit, le match s'arrête direct, personne ne s'amuse à calculer les probabilités des buts qui auraient pu être marquées si on avait joué les 10 minutes restantes.

Intervenant 23:38

C'est une très bonne analogie. Le futur potentiel, il est annulé par le présent. Pour D’Alembert, les seules séquences physiquement observables, elles sont au nombre de trois. Soit on fait croix tout de suite et c'est plié. Soit on fait pile puis croix. Soit on fait pile pile.

Intervenant 13:57

D’accord. Donc on a plus que trois scénarios réels.

Intervenant 24:00

Voilà. Et sur ces trois scénarios, deux permettent de gagner et un seul fait perdre.