Convexité : pourquoi préférer un panier équilibré ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un immense plaisir d'accueillir les auditeurs aujourd'hui pour une nouvelle exploration vraiment fascinante. On va parler d'un truc qu'on fait tous super souvent et qui paraît d'une banalité affligeante.

Intervenant 20:16

Un truc tellement quotidien qu'on n'y pense même plus en fait.

Intervenant 10:19

Exactement. L'idée de notre plongée d'aujourd'hui, qui se base sur l'article « Optimiser la consommation », c'est de regarder ce qui se passe quand on franchit les portes automatiques d'un supermarché, on attrape un chariot, on rentre dans le magasin et là bam, on a l'impression d'avoir un pouvoir absolu, d'être totalement libre.

Intervenant 20:37

C'est ça, le fameux mythe du libre arbitre au rayon surgelé quoi.

Intervenant 10:42

Sauf que, et c'est le grand twist qu'on va aborder aujourd'hui, c'est une illusion totale. D'ici la fin de notre discussion, je promets aux auditeurs qu'ils ne verront plus jamais leurs chariots de la même manière. En fait, ils vont réaliser que leur caddie, c'est littéralement un espace vectoriel à N dimensions.

Intervenant 21:00

Et c'est une promesse qu'on va tenir, je te le garantis. C'est vrai que la vulgarisation des maths, ça permet souvent de révéler que sous le chaos apparent de nos envies impulsives au supermarché, il y a une structure mathématique implacable. C'est rigoureux, c'est géométrique et c'est même plutôt beau en fait.

Intervenant 11:17

Ah, je suis tellement ravie que tu sois là pour nous guider là-dedans, parce que ça a l'air un peu vertigineux dit comme ça. Donc, commençons par le début. Pourquoi on ne peut pas tout acheter ? Parce que oui, j'ai envie de prendre tout le rayon chocolat, mais dans les faits, je ne le fais pas.

Intervenant 21:30

Eh bien, tout simplement parce qu'il y a un mur. Un mur invisible, mais très concret, qui est la contrainte budgétaire. Ton choix dépend de tes envies, bien sûr, mais avant tout, il dépend de ce qui est disponible et de ton budget, qu'on appelle généralement « dollar B » dans les équations.

Intervenant 11:47

D'accord. Et c'est là qu'on commence à modéliser mathématiquement notre session de course, c'est ça ?

Intervenant 21:53

Tout à fait. Imagine qu'il y a N biens différents sur le marché. Dans un hypermarché classique, N, ça peut facilement être 50 000 références différentes.

Intervenant 12:02

Ah ouais, 50 000, donc c'est énorme.

Intervenant 22:04

C'est gigantesque. Et en mathématiques, un panier de consommation, ce qu'on met dans le chariot, on le représente comme une suite mathématique. Un vecteur, si tu préfères, avec n coordonnées, qu'on note x égale x1, x2 jusqu'à xn.

Intervenant 12:17

Attends, pour être bien sûr de comprendre, ça veut dire que si j'achète 3 pommes, ma coordonnée pomme est à 3, et les 49 000 autres coordonnées pour les trucs que je n'achète pas comme, je ne sais pas, une télé ou des chaussettes, elles restent à zéro.

Intervenant 22:33

C'est exactement ça. Ton chariot est un point très précis dans un sous-ensemble qu'on appelle X, qui se trouve dans un espace à N dimensions, l'espace RN.

Intervenant 12:43

C'est fou de se dire qu'on se déplace dans la matrice juste en prenant des yaourts. Mais du coup, cette histoire de budget, moi, ça me fait penser, tu sais, à un personnage de jeu de rôle, un RPG. À l'analogie du

Intervenant 22:52

jeu vidéo. Vas-y, développe.

Intervenant 12:54

Bah en fait, dans un RPG, t'as un inventaire avec des cases limitées et t'as un nombre hyper précis de pièces d'or. Et chaque fois que ton perso ramasse une nouvelle armure ou une potion, bah ça modifie ses statistiques et son inventaire. Dans la vraie vie, chaque boîte de céréales que j'ajoute, ça change mes coordonnées dans cet espace RN et ça tape dans mon nombre de pièces d'or.

Intervenant 23:13

C'est une métaphore parfaite. Et la règle stricte du jeu, l'inéquation que tu ne peux pas pirater, c'est la contrainte budgétaire. Mathématiquement, c'est le prix du premier bien multiplié par sa quantité, plus le prix du deuxième fois sa quantité, et ainsi de suite jusqu'à N. Et cette somme globale, elle doit être inférieure ou égale à ton budget B.

Intervenant 13:34

Ce fameux mur invisible, c'est hyper frustrant, psychologiquement parlant, de se dire qu'on est bloqué par ça.

Intervenant 23:40

Oui, mais c'est là qu'il faut voir les choses autrement. Cette limite, ce n'est pas du tout un frein pour la théorie. Au contraire, c'est la condition d'existence même du problème d'optimisation. S'il n'y a pas de contrainte, il n'y a pas de choix à faire.

Intervenant 13:53

Ah, tu veux dire que si on était tous milliardaires, il n'y aurait plus besoin de faire des maths pour faire ses courses.

Intervenant 23:58

Exactement. Si l'argent était infini, tu achèterais une quantité infinie de tout ce qui te fait envie. L'optimisation, elle n'aurait plus aucun sens. C'est justement parce que ce budget B$ existe que les mathématiques peuvent entrer en scène pour t'aider à trouver la solution parfaite, l'optimum.

Intervenant 14:17

D'accord, je vois. Bon, décortiquons tout ça. On a donc cet ensemble de tous les paniers qu'on peut s'offrir, notre terrain de jeu dans l'espace R-N. Comment ces différents paniers interagissent entre eux ? L'article parle d'un concept clé à ce stade, la fameuse convexité.

Intervenant 24:32

Ouais, la convexité, c'est un peu la magie qui rend le modèle stable. En géométrie, on dit que l'ensemble de tes paniers possibles, ceux qui respectent ton budget, forment un espace convex.

Intervenant 14:42

Convexe, c'est-à-dire ?

Intervenant 24:44

Visuellement, ça ressemble à quoi ?

Intervenant 14:46

Si on simplifie, imagine une forme pleine et arrondie, comme une pomme ou un ballon. Si tu prends deux points n'importe où à l'intérieur de ce ballon et que tu tires un trait tout droit entre les deux, tout le trait reste à l'intérieur du ballon.