21 déc. 2023 · 22 min
Plan colorié sans distance unité : la borne passe sous 25 %
Dans cet épisode, suivez la course des bornes pour savoir quelle part du plan colorier sans que deux points coloriés soient distants d’une unité.
Collections de cet épisode (8)
Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
Transcription
Afficher la transcriptionMasquer la transcription
Transcription automatique
Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Prenons une feuille de papier infinie et un simple stylo noir.
Intervenant 2
D'accord.
Intervenant 1
La règle du jeu, en fait, elle est enfantine. Il faut colorier la plus grande surface possible de ce papier. Mais il y a une condition stricte, absolue.
Intervenant 2
Ouais, la fameuse condition.
Intervenant 1
Aucun point noir ne doit jamais se trouver à très exactement un centimètre d'un autre point noir. Ça a l'air d'une activité pour occuper un mercredi après-midi pluvieux, n'est-ce pas ?
Intervenant 2
C'est clair,
Intervenant 1
on dirait presque un jeu d'enfant. Sauf que, pourtant, cette énigme géométrique d'une innocence vraiment trompeuse a fini par rendre fous les plus grands cerveaux de la planète. Elle a résisté pendant des décennies, jusqu'à obliger l'humanité, il y a quelques mois à peine, à mobiliser la puissance brute de l'intelligence artificielle pour enfin trouver un début de réponse.
Intervenant 2
C'est tout le paradoxe de la géométrie pure. Et c'est vraiment ce qui rend cette exploration d'aujourd'hui si passionnante.
Intervenant 1
Absolument.
Intervenant 2
En fait, les énoncés les plus minimalistes, ils cachent souvent des gouffres de complexité. Notre mission pour cette plongée, c'est de décortiquer une véritable onde de choc qui a frappé le monde mathématique en juillet 2023. Une vraie
Intervenant 1
révolution, oui.
Intervenant 2
Exactement. Une équipe de chercheurs a finalement réussi à briser un plafond de verre qui tenait bon depuis plus de 60 ans. Et pour bien comprendre cet exploit, il faut observer comment ce problème est passé du simple gribouillage sur un carnet à l'utilisation des algorithmes de recherche les plus avancés au monde.
Intervenant 1
Alors reprenons depuis le début pour bien saisir l'ampleur du défi pour ceux qui nous écoutent. Tout part d'un problème plus vaste qu'on appelle le nombre chromatique du plan.
Intervenant 2
C'est
Intervenant 1
ça. Quelle est la mécanique exacte derrière cette formulation un peu intimidante ?
Intervenant 2
Alors la mécanique, elle est très visuelle. Imaginons un plan infini, une surface parfaitement plate qui s'étend éternellement dans toutes les directions.
Intervenant 1
OK, je visualise.
Intervenant 2
La mission initiale consistait à attribuer une couleur à chaque point microscopique de ce plan, mais avec une interdiction formelle. Si on prend une règle et qu'on mesure une distance de très exactement une unité, disons un mètre pour simplifier, eh bien les deux points situés aux extrémités de cette règle ne peuvent sous aucun prétexte partager la même couleur.
Intervenant 1
D'accord, donc jamais la même couleur à un mètre pile.
Intervenant 2
Voilà. L'objectif ultime, c'est d'optimiser. On cherche le nombre minimum de couleurs nécessaires dans notre palette pour colorier l'intégralité du plan infini sans jamais provoquer d'infraction à cette règle du fameux mètre de distance.
Intervenant 1
Si on a des millions d'antennes éparpillées sur un territoire sans fin, le régulateur impose que toute antenne située à exactement un kilomètre d'une autre doit émettre sur une fréquence différente. Sinon, leurs signaux vont interférer de manière catastrophique.
Intervenant 2
Exactement, ça brouille tout.
Intervenant 1
Donc chaque fréquence est une couleur. La question est de savoir combien de fréquences l'opérateur doit acheter, au minimum absolu, pour couvrir tout l'espace, sans brouiller le signal des antennes distantes d'un kilomètre quoi.
Intervenant 2
Ouais, l'image des antennes illustre parfaitement cette nécessité vitale d'optimisation. Du coup, les mathématiciens ont commencé par les bases. Si on trace un simple triangle équilatéral, dont chaque côté mesure exactement un mètre...
Intervenant 1
Un triangle classique, d'accord.
Intervenant 2
Ces trois pointes, ces trois sommets sont tous à une distance de 1 les uns des autres. Il est donc mathématiquement obligatoire d'utiliser trois couleurs différentes, une pour chaque pointe.
Intervenant 1
Bah oui, logique.
Intervenant 2
De là, on déduit immédiatement qu'il faut au minimum trois couleurs pour le plan entier.
Intervenant 1
Trois couleurs, ça semble presque trop simple en fait. Il suffit d'ajouter un point pour que tout bascule.
Intervenant 2
Mais précisément, et c'est là que l'histoire s'accélère, en 1961, avec le mathématicien canadien Léo Moser, il a conçu une structure géométrique minuscule composée de seulement 7 points reliés par des segments de longueur
Intervenant 1
1. Juste 7 points.
Intervenant 2
Cette structure est passée à la postérité sous le nom de fuseau de Mauser. Et en fait, son architecture interne est tellement intriquée qu'il est physiquement impossible d'attribuer une couleur à ses 7 points en n'utilisant que 3
Intervenant 1
crayons. Ah, d'accord. Ça
Intervenant 2
coince. Ouais, ça coince, sans qu'au moins 2 points de la même couleur ne se retrouvent à une distance de 1. Ce petit dessin a prouvé à lui seul que 3 couleurs ne suffisaient pas, il en faut au minimum 4.
Intervenant 1
Un dessin de sept points qui dicte sa loi à un plan infini. Je trouve ça déjà vertigineux.
Intervenant 2
C'est la magie des graphes.
Intervenant 1
Mais du coup, quatre couleurs, c'est le minimum. Qu'en est-il du maximum ? Est-ce qu'on peut garantir qu'avec une boîte de 100 couleurs, le problème est réglé ?
Intervenant 2
Oh, on peut faire beaucoup, beaucoup mieux que sans. En utilisant un pavage très astucieux, basé sur des hexagones réguliers, un peu comme le carrelage d'une salle de bain géante, dont le diamètre est légèrement inférieur à 1.
Intervenant 1
D'accord, des petits hexagones.
Intervenant 2
Voilà. La communauté mathématique a prouvé qu'on pouvait colorier tout l'infini sans la moindre erreur, avec exactement 7 couleurs. Donc, le nombre mystère est pris au piège.
Intervenant 1
Il est encerclé.
Intervenant 2
C'est ça. La vérité absolue est soit 4, soit 5, soit 6, soit 7.
Intervenant 1
Les taux se resserrent. Mais je pressens un blocage, on en est resté là.
Intervenant 2
Un blocage monumental, oui. La situation est restée figée pendant des années. Jusqu'à de micros avancés autour de 2018 qui ont prouvé qu'il fallait au moins 5 couleurs. Mais sinon, le monde mathématique a stagné.
Intervenant 1
Incroyable.
Intervenant 2
C'est une question qu'on peut expliquer en 30 secondes et qui résiste à un demi-siècle de recherches acharnées.
Intervenant 1
Et c'est là que la frustration humaine entre en jeu, je suppose. Quand on se cogne la tête contre un mur de briques pendant 50 ans sur le problème des multiples couleurs, on fait ce que les scientifiques font de mieux, on renverse complètement la table.
Intervenant 2
Exactement, on change les règles.
Intervenant 1
Plutôt que de chercher combien de couleurs il faut pour tout peindre, on supprime la boîte de crayons, on ne garde qu'un seul stylo noir.
Intervenant 2
Et ça, c'est le changement de paradigme fondamental qui est connu sous le nom de problème de densité de Mauser, formulé dans les années 60.
Intervenant 1
Donc, une seule couleur.
Intervenant 2
Voilà, avec une seule couleur, le noir, il est évident qu'on ne peut plus colorier tout le plan. Des points noirs finiraient inévitablement par se retrouver à une distance de 1.
Intervenant 1
Oui, ça ferait une grosse tache noire partout.
Intervenant 2
Proportion, quel est le pourcentage maximal de la surface du plan qu'on peut recouvrir d'encre noire sans jamais enfreindre la règle ? D'accord. Les espaces non coloriés, donc les zones blanches, peuvent faire ce qu'elles veulent. L'interdiction de la distance 1 ne s'applique qu'à l'encre noire.
Intervenant 1
Bon, alors abordons ça de manière très pragmatique. Si on me donne ce stylo, ma première réaction, ce serait de dessiner des petits points.
La suite de la transcription est réservée aux abonnés.
S’abonnerÀ écouter ensuite
Des épisodes qui partagent une playlist, une figure ou un domaine avec celui-ci.
13 mai 2025 · 17 min
21 juin 2023 · 16 min
13 mai 2025 · 28 min
10 févr. 2025 · 20 min
17 févr. 2023 · 22 min
4 nov. 2020 · 11 min