Nombres complexes : de x² = −1 à la géométrie

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans un problème mathématique qui tient littéralement sur un petit post-it.

Intervenant 20:09

Ouais, un tout petit post-it.

Intervenant 10:11

Voilà. Imaginez juste l'équation x² égale −1. Ça n'a l'air de rien comme ça.

Intervenant 20:17

Ça n'a l'air de rien, mais c'est un mur. Un mur absolu sur lequel les mathématiciens ont buté pendant des siècles.

Intervenant 10:23

C'est ça, une véritable hérésie mathématique pour l'époque.

Intervenant 20:26

Et l'objectif de notre exploration du jour, c'est de comprendre comment ce petit blocage a forcé la création d'un outil totalement abstrait. Une simple lettre, la lettre I pour imaginaire.

Intervenant 10:38

Et le plus fou, c'est que cet outil, inventé pour résoudre un truc en apparence absurde, a fini par tisser des liens spectaculaires avec l'ensemble des mathématiques. De l'algèbre pur jusqu'à la géométrie. Exactement. Donc on va démystifier ensemble ce fameux ensemble grand C, le monde des nombres complexes.

Intervenant 20:56

Ce qui est vraiment fascinant avec cette histoire, c'est qu'elle suit un schéma très classique finalement dans l'évolution des sciences.

Intervenant 11:02

Ah oui, comment ça ?

Intervenant 21:04

Les plus grandes révolutions, elles naissent rarement d'une idée lumineuse qui tombe du ciel en beau matin. En fait, elles naissent presque toujours d'un blocage insupportable.

Intervenant 11:13

D'une impasse, quoi.

Intervenant 21:14

Voilà. Un paradoxe sur lequel des générations entières de chercheurs s'arrachent les cheveux, jusqu'à ce que quelqu'un décide de contourner le mur d'une manière qui heurte profondément le bon sens de l'époque.

Intervenant 11:26

Oui, parce que pour bien mesurer l'ampleur de ce mur, Il faut se remettre un peu dans le contexte des nombres réels, l'environnement de base que tout le monde accepte.

Intervenant 21:34

Tout à fait.

Intervenant 11:34

La règle d'or qu'on apprend vraiment très tôt à l'école, c'est que le carré d'un nombre est forcément positif ou nul. Enfin, si on multiplie un nombre positif par lui-même, genre 3 x 3,

Intervenant 21:45

Ça fait 9. Un résultat positif.

Intervenant 11:47

Voilà. Et la mécanique reste exactement la même du côté des nombres négatifs. −3 multiplié par −3…

Intervenant 21:53

Ça donne également plus 9. La règle des signes, elle est implacable. Moins par moins, ça fait plus.

Intervenant 11:59

Toujours.

Intervenant 21:59

Du coup, écrire x² égale −1, c'est formuler une impossibilité totale dans ce cadre-là. C'est comme demander de trouver une quantité physique qui, multipliée par elle-même, créerait un déficit.

Intervenant 12:11

C'est absurde dans le monde réel. Et c'est pour cette raison que la pilule a été si dure à avaler. Le malaise généré par cette impossibilité, d'ailleurs, on le compare souvent à un autre grand traumatisme de l'histoire des sciences.

Intervenant 22:23

Ah, la fameuse crise de l'école de Pythagore, dans l'Antiquité.

Intervenant 12:27

C'est ça. Le parallèle est frappant, non ?

Intervenant 22:29

Il est même extrêmement pertinent. Parce que pour les pythagoriciens, toute la philosophie de l'univers reposait sur les nombres entiers et leur fraction parfaite. C'était vraiment leur dogme.

Intervenant 12:41

L'univers devait être harmonieux.

Intervenant 22:42

Oui, tout devait être mesurable par des rapports simples. Mais un jour, en appliquant leur propre théorème, sur un carré dont le côté mesure 1 mètre,

Intervenant 12:52

ils ont voulu calculer la longueur de la diagonale.

Intervenant 22:54

Exactement ! Et là, patatras !

Intervenant 12:57

Ils sont tombés sur la racine carrée de 2.

Intervenant 22:59

Voilà. Un nombre qui ne s'arrête jamais après la virgule, qui ne boucle jamais sur lui-même. Un nombre irrationnel. Un

Intervenant 13:05

truc impossible à écrire sous forme de fraction.

Intervenant 23:07

Et on sait que ça a littéralement détruit leur vision du monde. Complètement. Et l'apparition de ce qu'on va appeler plus tard le nombre i, ça provoque un séisme intellectuel du même ordre.

Intervenant 13:18

Parce qu'on introduit un concept qui n'a absolument aucune réalité physique immédiate.

Intervenant 23:23

C'est ça. Ce nombre imaginaire, on ne peut pas l'utiliser pour compter des pommes, il ne correspond à aucune surface, aucune distance matérielle mesurable.

Intervenant 13:32

Il est défini uniquement par cette propriété qui paraît folle, son carré vaut −1.

Intervenant 23:37

C'est sa seule définition au départ.

Intervenant 13:39

Alors là, je vais me serre un peu l'avocat du diable un instant, histoire de représenter la pensée d'une bonne partie de notre audience. Je

Intervenant 23:45

vous écoute.

Intervenant 13:46

Sincèrement, pourquoi s'acharner ? Si un carré ne peut pas être négatif dans le monde physique, pourquoi ne pas simplement admettre la défaite, écrire sur sa copie et que cette équation n'a pas de solution, et puis on passe à un autre problème, quoi ? Pourquoi forcer la création d'un concept aussi… enfin, aussi artificiel ?

Intervenant 24:03

Ah mais c'est une excellente objection. Et pour être honnête, c'est exactement la réaction qu'ont eu de nombreux mathématiciens de premier plan au tout début.

Intervenant 14:10

Genre, on met ça sous le tapis.

Intervenant 24:12

Voilà. Sauf que le problème, c'est que refuser cet obstacle, baisser les bras face à cette petite équation du second degré, bah ça revient à bloquer le développement de tout le calcul algébrique.

Intervenant 14:22

Ça figeait la recherche.

Intervenant 24:23

Totalement. En décrétant qu'il n'y a pas de solution, on s'interdit d'aller plus loin. Alors que si on accepte i, on fait un pari. Un pari extrêmement audacieux en fait.

Intervenant 14:33

Lequel ?

Intervenant 24:34

On décide de suspendre temporairement notre besoin obsessionnel de réalité tangible. On accepte de manipuler un outil pur, abstrait, juste pour voir si en l'utilisant au milieu d'un calcul, il ne permettrait pas de débloquer la situation.

Intervenant 14:51

Avec l'espoir de retomber sur nos pieds à la fin.

Intervenant 24:53

Exactement, c'est un acte de foi algébrique.