Méthode de Newton : la tangente qui approche la racine

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on se lance dans une nouvelle exploration en profondeur d'un sujet qui me fascine totalement. Chercher la racine carrée d'un nombre avec une précision millimétrée, au fond, c'est un peu comme essayer de faire atterrir un avion sur une piste minuscule.

Intervenant 20:19

Bah oui, en plan brouillard et surtout sans aucun instrument de vol moderne, il faut vraiment un cap fixe et une méthode infaillible.

Intervenant 10:26

C'est exactement l'enjet de notre plongée du jour. On va décortiquer l'extraction de ces fameuses racines mathématiques. Un voyage de dingue entre la fluidité géométrique de l'algorithme de Newton et l'ingéniosité folle du calcul manuel d'avant les calculatrices.

Intervenant 20:42

Avant d'aborder ces méthodes manuelles qui étaient super laborieuses, il faut poser les bases théoriques de la méthode suprême. C'est celle que Newton a publiée en 1671 pour résoudre l'équation f de x égale 0.

Intervenant 10:54

D'accord, donc au lieu de poser des formules monstrueuses d'entrée de jeu, l'idée visuelle, en fait, c'est de remplacer la solution par l'intersection entre la tangente à la courbe et l'axe horizontal.

Intervenant 21:04

C'est tout à fait ça. La formule mathématique nous dit que la nouvelle valeur de x, c'est l'ancienne valeur moins la fonction divisée par sa dérivée. Mais pour bien visualiser, imaginons qu'on soit sur une courbe.

Intervenant 11:17

Donc si la courbe, c'est disons une colline, c'est comme glisser sur un toboggan qui représenterait la tangente jusqu'au sol.

Intervenant 21:24

Voilà, l'analogie du toboggan est parfaite. On glisse jusqu'au sol, on regarde où on a atterri, puis on remonte à la verticale sur la courbe pour construire un nouveau toboggan et on glisse à nouveau. Et à chaque fois, on se rapproche de la cible.

Intervenant 11:38

Et on finit par atterrir pile sur la bonne valeur. Mais il doit y avoir des conditions strictes, non ? On ne peut pas glisser sur n'importe quoi.

Intervenant 21:45

Absolument pas ! Il faut beaucoup de rigueur. La fonction doit être continue, deux fois dérivable, et surtout le plus important, la dérivée première ne doit pas s'annuler à la racine.

Intervenant 11:57

Ah oui, parce que si la dérivée s'annule, ça veut dire que la tangente est horizontale, du coup notre toboggan est tout plat.

Intervenant 22:03

C'est ça. Si le toboggan est plat, on glisse à l'infini, à l'horizontale, sans jamais croiser l'axe. Et là, paf, la méthode s'arrête nette.

Intervenant 12:12

Je vois, c'est très clair. Et cette logique du toboggan, elle est tellement redoutable qu'elle permet même de retrouver des formules historiques, non ? En l'appliquant à x²-a, on redémontre instantanément la célèbre méthode des ronds d'Alexandrie.

Intervenant 22:26

Exactement, avec ce calcul de moyenne entre x et a sur x. Mais là où ça devient vraiment vertigineux, c'est qu'on peut complètement changer les règles du jeu et faire disparaître la division.

Intervenant 12:36

Attends, vraiment, comment on fait disparaître une division dans une extraction de racines ?

Intervenant 22:42

Eh ben, en posant une autre fonction de départ. Si on choisit la fonction 1 sur x moins a, la formule de Newton se transforme. Elle devient simplement deux fois la valeur de x moins a, multipliée par x au carré.

Intervenant 12:57

Et là, bim, plus aucune division. On se retrouve juste avec des multiplications et des soustractions, quoi.

Intervenant 23:02

C'est exactement ça. La division est totalement évacuée du processus.

Intervenant 13:06

Mais du coup, retirer cette division, sur le papier, ça ressemble juste à un petit tour de passe-passe d'algébliste. En quoi c'était réellement un atout majeur ?

Intervenant 23:14

Ah, c'est fondamental pour la stabilité numérique. Diviser par un nombre extrêmement proche de zéro, surtout pour un ordinateur, ça crée des erreurs colossales, des dépassements de capacité. En n'utilisant que des multiplications, l'algorithme devient incroyablement robuste.

Intervenant 13:28

Ah oui, c'est brillant pour l'informatique ça. Bon, mais si cet algorithme de Newton frôle la perfection théorique, la réalité quotidienne dans les écoles d'autrefois, c'était beaucoup plus manuel et très différent.

Intervenant 23:41

Oh que oui, tu l'as dit ! Le calcul à la main, c'était un artisanat d'une précision extrême. Prenons l'extraction de la racine de 163. La toute première étape, c'est le découpage par tranche de deux chiffres en partant de la droite.

Intervenant 13:55

Donc pour 163, on coupe ça en deux blocs. On a le 63 d'un côté et le 1 tout seul de l'autre.

Intervenant 24:02

Exactement et à partir de là commence une recherche assez laborieuse du plus grand entier B. L'idée c'est de construire un nombre avec le double du résultat partiel suivi de ce chiffre B et de multiplier le tout par ce même B pour que ça reste inférieur au reste.

Intervenant 14:18

Waouh ! Ça ressemble carrément à une division euclidienne, mais jouée en mode extrême.

Intervenant 34:22

C'est la meilleure façon de le décrire. Et les décimales tombent, comme ça, goutte à goutte, en abaissant des paires de zéros à chaque étape. Jusqu'à prouver par exemple que la racine de 163 se trouve entre 12,76 et 12,77.

Intervenant 14:37

Mais c'est dingue, parce que sur des nombres qui deviennent de plus en plus gigantesques, une seule erreur de calcul et c'est tout l'édifice qui s'écroule, non ?

Intervenant 34:45

Totalement. C'était une mécanique implacable. Ça rappelle vraiment une époque où l'esprit humain devait agir comme le véritable et unique processeur de l'information.

Intervenant 14:53

C'est une très belle façon de le formuler. Ces processus, qui soient purement géométriques ou manuels, nous montrent vraiment à quel point notre cerveau était la machine ultime.

Intervenant 35:01

Ah oui, et ça pousse clairement à réfléchir sur notre dépendance à tous nos outils modernes.

Intervenant 15:06

C'est clair. D'ailleurs, ça m'amène à une pensée finale pour clore cette exploration. Si notre technologie actuelle disparaissait brusquement cette nuit, l'humanité saurait-elle encore extraire ses racines à la seule force du poignet ? C'est une question assez vertigineuse à méditer. À très bientôt pour une nouvelle Plongée mathématique.