Entrelacs : du motif entrecroisé au graphe, puis retour

Intervenant 10:00

Bonjour tout le monde et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:04

Salut à tous !

Intervenant 10:06

On a tous en tête cette fameuse image du nœud celte, non ?

Intervenant 20:09

Ah ouais, le fameux enchevêtement.

Intervenant 10:11

Exactement, ce chaos de lignes millénaire avec ses courbes qui n'en finissent pas.

Intervenant 20:17

C'est vrai que c'est captivant.

Intervenant 10:18

C'est d'une complexité qui donne presque le vertige quand on essaye de la suivre des yeux. Mais si on disait que derrière ce chaos visuel, derrière cette beauté hypnotique qui semble indéchiffrable,

Intervenant 20:30

il se cache autre chose.

Intervenant 10:31

Voilà, il se cache en réalité un simple squelette géométrique, totalement plat et épuré.

Intervenant 20:37

C'est assez contre-intuitif quand on regarde le dessin de base, c'est clair.

Intervenant 10:40

Complètement. Du coup, notre exploration d'aujourd'hui a une mission très claire. On va révéler le lien secret, et surtout réciproque, entre l'art visuel de ces ornements antiques et les mathématiques pures.

Intervenant 20:51

Les graphes planaires, pour être précis.

Intervenant 10:53

C'est ça. Et je suis vraiment impatiente de décortiquer tout ça avec toi.

Intervenant 20:57

Je suis ravi d'être là. Et ce qui est véritablement stupéfiant dans les sources qu'on explore aujourd'hui, c'est que cette connexion mathématique ne sert pas uniquement à analyser des œuvres d'art qui existent déjà.

Intervenant 11:07

C'est pas juste de l'observation historique, quoi.

Intervenant 21:10

Non, pas du tout. Elle offre un vrai pouvoir de transformation. En fait, elle permet de prendre un dessin d'apparence insurmontable et de le réduire à un schéma simplice.

Intervenant 11:18

Wow !

Intervenant 21:19

Et mieux encore, la réciproque est vraie.

Intervenant 11:22

C'est-à-dire qu'à partir de quelques points et de quelques traits jetés sur une feuille,

Intervenant 21:26

le système mathématique génère de lui-même une complexité artistique vertigineuse. C'est littéralement posséder une clé de déchiffrement universelle.

Intervenant 11:34

C'est un truc de fou. Bon, pour que tout le monde comprenne bien comment cette clé magique fonctionne, je pense qu'il faut qu'on définisse nos deux acteurs principaux.

Intervenant 21:42

Ouais, c'est essentiel.

Intervenant 11:43

On a d'un côté l'art et de l'autre la géométrie abstraite. Commençons par la figure artistique, donc les entrelacs.

Intervenant 21:51

Très

Intervenant 11:51

bien. Concrètement, si on retire le côté purement décoratif, genre les fioritures ou les têtes d'animaux typiques qu'on voit dans les enluminures, qu'est-ce qu'on regarde d'un point de vue purement structurel ?

Intervenant 22:03

Mathématiquement parlant, un entrelac se définit comme un ensemble fini de courbes fermées. On appelle ces courbes des brins. Et ces brins s'enchevêtrent en passant les uns au-dessus ou en dessous des autres.

Intervenant 12:15

Donc il y a une notion de profondeur ?

Intervenant 22:16

Exactement. Mais la règle fondamentale, absolue, c'est qu'ils ne se coupent jamais. Il n'y a pas d'intersection physique, pas de collision.

Intervenant 12:23

Du coup, sur un dessin en 2D, genre sur une feuille de papier, on est obligé de tricher un peu pour simuler la 3D, non ?

Intervenant 22:30

C'est exactement ça. L'astuce visuelle consiste à effacer un tout petit segment du trait qui est censé passer en dessous, juste au niveau du croisement.

Intervenant 12:38

Ah ouais, c'est ce petit vide qui trompe notre cerveau.

Intervenant 22:41

Voilà, ça donne cette illusion de tressage d'épaisseur.

Intervenant 12:44

J'aime bien visualiser ça comme un immense échangeur d'autoroutes, tu sais, en plein centre-ville.

Intervenant 22:49

C'est une super analogie.

Intervenant 12:51

On a des ponts qui engendrent d'autres voies, des tunnels qui plongent sous le béton. Enfin, c'est un réseau hyper complexe où la règle d'or, c'est le chevauchement en 3D en permanence.

Intervenant 23:00

Sans jamais d'accident au croisement.

Intervenant 13:01

Exactement. Et de l'autre côté du ring, on a notre deuxième acteur, le fameux graphe planaire.

Intervenant 23:06

Ouais, alors le graphe planaire, lui, il appartient au domaine de la topologie et de la théorie des graphes.

Intervenant 13:14

Ça sonne très abstrait dit comme ça.

Intervenant 23:16

Pour faire simple, un graphe, c'est juste une collection de points. On nomme ces points les sommets.

Intervenant 13:22

OK, des points.

Intervenant 23:23

Et ces sommets sont reliés entre eux par des lignes qu'on appelle les arêtes.

Intervenant 13:28

Jusque là, je suis. Mais la partie planaire, c'est quoi ?

Intervenant 23:31

C'est la spécificité cruciale. Un graphe planaire a une grosse contrainte d'espace. C'est un schéma qui doit pouvoir être dessiné sur une surface complètement plate, de telle sorte qu'absolument aucune de ses arêtes n'en croise une autre.

Intervenant 13:45

Aucune arête ne se touche ?

Intervenant 23:47

Jamais en dehors des sommets. Tout doit rester à plat sur le plan, sans aucun empilement.

Intervenant 13:52

Donc, pour garder nos petites images, ce graphe planaire ressemblerait plutôt à, disons, une constellation d'étoiles dessinée sur une immense carte de navigation ? C'est

Intervenant 24:01

ça.

Intervenant 14:01

On a le droit de relier certaines étoiles par des lignes droites, mais la loi interdit formellement que deux lignes se superposent ou se croisent en plein milieu du vide spatial.

Intervenant 24:10

C'est l'idée, oui.

Intervenant 14:12

Mais du coup, en posant ces deux définitions, il y a un énorme problème de logique qui me saute aux yeux.

Intervenant 24:17

Ah, lequel ?

Intervenant 14:17

Mais comment est-ce qu'on peut lier intimement une structure en 3D, dont l'essence même est le chevauchement continu, notre échangeur d'autoroute, avec une structure totalement plate, la constellation, dont la règle fondatrice est l'interdiction totale de se croiser ?

Intervenant 24:33

Les deux concepts semblent mathématiquement incompatibles, en effet.

Intervenant 14:36

C'est un paradoxe total.

Intervenant 24:37

C'est un paradoxe géométrique, tout à fait légitime. Et pour comprendre comment ce fossé était comblé, il faut qu'on fasse un petit saut dans le temps.

Intervenant 14:44

On part quand ?

Intervenant 24:44

À la fin du XIXe siècle. Et plus précisément, il faut se pencher sur les conséquences d'une erreur historique assez fascinante.

Intervenant 14:51

Oh, je vois ça. Une erreur qui fait avancer la science. C'est toujours les meilleures histoires.

Intervenant 24:57

Ah bah là, c'est un cas d'école.

Intervenant 14:58

Raconte, que c'est-il PC ?

Intervenant 25:00

Nous sommes en 1880. Le physicien et mathématicien écossais Peter Guffry Tate travaille d'arrache-pied sur un énorme dossier.

Intervenant 15:08

Lequel ?

Intervenant 25:09

Ce qui est alors l'un des plus grands mystères de son temps, le théorème des quatre couleurs.

Intervenant 15:14

Ah oui, le truc avec les cartes de géographie.

Intervenant 25:16

Exactement. Ce théorème postule qu'il suffit d'un maximum de quatre couleurs pour colorier n'importe quelle carte plane, de façon à ce que deux pays qui partagent une frontière n'aient jamais la même couleur.

Intervenant 15:27

Et Tate pensait avoir trouvé la démonstration absolue.

Intervenant 25:29

Ouais. Sauf que sa démonstration ne tenait pas la route du tout. Elle était fausse.

Intervenant 15:33

Ah mince !

Intervenant 25:34

La véritable preuve ne sera trouvée qu'un siècle plus tard d'ailleurs, grâce à l'informatique. Mais le truc fou, c'est que dans sa tentative, Tate cherchait à simplifier la notion même de carte pour l'étudier plus facilement. Et

Intervenant 15:45

il a fait

Intervenant 25:46

comment ? Il s'est dit qu'il pouvait utiliser les nœuds et les entrelacs comme des modèles de cartes. Il a imaginé qu'on projetait l'ombre d'un entrelac à plat sur une table.

Intervenant 15:55

D'accord.

Intervenant 25:56

Et en regardant cette projection, il a cessé d'y voir des cordes entremêlées. À la place, il a décidé d'y voir des frontières.

Intervenant 16:02

Je ne suis pas sûre de suivre la logique de Tate là. Comment l'ombre écrasée d'une grosse corde devient une frontière politique ?

Intervenant 26:09

C'est une question de point de vue.