Une droite, deux partages : l’énigme du triangle tri-méd

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans cette nouvelle exploration mathée. C'est le podcast du magazine Tangente et je suis ravi d'accueillir tout notre auditoire aujourd'hui. On va commencer par imaginer une petite scène. Bonjour à tout

Intervenant 20:11

le monde. Alors, quelle est cette scène ? Je suis curieuse.

Intervenant 10:15

Eh bien, il s'agit de couper une part de tarte en trois portions. Mais attention, des portions rigoureusement et je dis bien millimétriquement identiques.

Intervenant 20:24

Ah, ça demande de la précision, ça.

Intervenant 10:26

Complètement. Sauf que la seule règle du jeu, c'est l'interdiction absolue d'utiliser un rapporteur.

Intervenant 20:32

Ah oui d'accord, ça se corse.

Intervenant 10:34

Eh oui. Les seuls outils autorisés sur la table, ce sont une règle non graduée et un simple compas.

Intervenant 20:41

C'est le fameux problème de la règle et du compas de l'Antiquité en fait.

Intervenant 10:44

Exactement. Ce qui ressemble à première vue à un petit casse-tête de fin de repas, a littéralement rendu fous les plus brillants esprits mathématiques pendant des millénaires.

Intervenant 20:55

Et c'est tout à fait justifié.

Intervenant 10:57

C'est le sujet de notre plongée du jour. Aujourd'hui, on s'immerge au cœur de la trisection de l'angle, un mystère grec antique qui finit par engendrer des constantes numériques totalement inédites et des illusions géométriques capables de tromper le cerveau humain. C'est un programme chargé.

Intervenant 21:15

C'est un parcours hyper fascinant. Ça illustre parfaitement comment une contrainte en apparence arbitraire peut forcer l'esprit humain à innover.

Intervenant 11:23

Et on s'appuie d'ailleurs sur un article passionnant qui explore les triangles dits tri-médas. Mais on y reviendra.

Intervenant 21:29

Oui, parce que la trisection de l'angle, ça fait partie des trois grands problèmes géométriques de l'Antiquité. Et pour comprendre les propriétés surprenantes des figures qui en découlent aujourd'hui, il faut d'abord regarder comment les pionniers ont essayé de surmonter ce mur théorique.

Intervenant 11:44

Oui, de le contourner, non ?

Intervenant 21:46

C'est exactement le mot. Archimède en est l'exemple le plus frappant

Intervenant 11:49

d'ailleurs. Archimède. C'est là qu'on entre dans ce que j'appellerais presque une zone de triche historique.

Intervenant 21:57

De triche ? Rien que ça ?

Intervenant 11:59

Bah oui. Quand on épluche la documentation, on tombe sur la méthode d'Archimède, détaillée dans la proposition 8 de son livre d'élème.

Intervenant 22:05

Oui, une proposition très célèbre.

Intervenant 12:08

Il s'empare d'un triangle isocèle. Il trace un cercle. Mais au lieu de se contenter de relier deux points fixes d'un trait net, comme le voudrait la règle, il prend une réglette sur laquelle il a fait deux petites marques.

Intervenant 22:18

Les points O et P,

Intervenant 12:19

c'est ça ? Voilà. Et ensuite vient le geste impensable. Il fait glisser cette règle sur le support physique jusqu'à ce que les marques s'alignent parfaitement avec le reste de la figure.

Intervenant 22:30

Ah, le fameux glissement

Intervenant 12:32

niésis. Ce mouvement mécanique, en fait, c'est connu sous le nom de construction par neusis.

Intervenant 22:38

Ou par inclinaison, si on préfère.

Intervenant 12:40

D'accord.

Intervenant 22:41

L'idée, c'est vraiment d'insérer un segment de longueur donnée entre deux lignes en le faisant pivoter autour d'un point fixe. Et sur le plan purement logique, la démonstration d'Archimède, elle est intraitable.

Intervenant 12:53

C'est-à-dire ? Ça marche vraiment ?

Intervenant 22:54

Absolument. En exploitant la somme des angles du triangle isocèle, il démontre de manière irréfutable que l'angle final obtenu par ce glissement, c'est exactement le tiers de l'angle de départ. La pureté de la preuve est absolue.

Intervenant 13:08

Oui, sauf que, attendez, si l’on se fie aux lois fondamentales de la géométrie classique, ce geste est illégal. On est en train de dire que le grand Archimède, l'icône absolue de la géométrie, a contourné les règles officielles. Eh bien oui et non ! Parce que le dogme d'Euclide exige que chaque point soit défini uniquement par l'intersection franche de deux droites, ou d'un cercle et d'une droite, non ? Le fait de faire coulisser un instrument, d'ajuster ça un peu à l'œil, c'est une action mécanique. C'est plus de la géométrie théorique idéale, c'est du bricolage empirique.

Intervenant 23:42

C'est une excellente observation en fait. Ce recours à l'ajustement continu brise totalement l'idéal platonique. Mais il faut comprendre pourquoi Archimède s'est autorisé cet écart.

Intervenant 13:52

Ce n'était pas une erreur

Intervenant 23:53

de sa part donc. Magistral d'une limite structurelle. Il a intuitivement compris que l'axonal classique, la règle et le compas pur, c'était intrinsèquement insuffisant.

Intervenant 14:03

Donc le problème venait de l'outil, pas du mathématicien.

Intervenant 24:06

Voilà. Cette prétendue triche, c'est en réalité le signal d'alarme d'un génie qui touche le plafond de verre des mathématiques de son époque.

Intervenant 14:14

Waouh. La contrainte de l'outil, figer la pensée abstraite.

Intervenant 24:18

C'est tout à fait ça.

Intervenant 14:19

Mais alors, si la géométrie physique était dans cet impasse face à ce glissement, comment est-ce qu'on a fini par débloquer la situation ? Il a bien fallu inventer un tout nouveau langage pour légitimer ce mouvement, non ?

Intervenant 24:30

Et ce langage révolutionnaire n'est autre que l'algèbre analytique.

Intervenant 14:35

Ah, on passe aux choses sérieuses.

Intervenant 24:36

Oui, pour voir ce pont se construire, il faut faire un sacré bond dans le temps. On avance jusqu'en 1742. Oui, avec le mathématicien écossais Colin Maclaurin. Son coup de génie, ça a consisté à s'emparer du dispositif glissant d'Archimède, ce mouvement continu qui était interdit, tu te souviens, et de l'animer mathématiquement.

Intervenant 14:58

C'est un changement de paradigme total pour le coup. C'est presque comme passer de la photographie argentique à la modélisation 3D, non ? C'est

Intervenant 25:06

une super métaphore,

Intervenant 15:08

oui. Les Grecs cherchaient à prendre une photo parfaite et figée de la solution. Et McLaurin, lui, il crée un film. Il laisse l'angle varier continuellement dans l'espace et il utilise l'algèbre pour tracer l'empreinte exacte laissée par la règle d'Archimède.

Intervenant 25:22

C'est exactement ça. Cette traduction du mouvement en algèbre, ça génère ce qu'on appelle une courbe cinématique. Et on l'a baptisée la trisectrice de Maclaurin.

Intervenant 15:32

La fameuse trisectrice.

Intervenant 25:33

Oui, et c'est un outil d'une puissance redoutable. Une fois que cette courbe est tracée sur un plan, elle agit un peu comme un calque universel.

Intervenant 15:41

C'est-à-dire ?

Intervenant 25:42

Eh bien, sa simple superposition avec n'importe quel angle permet d'en déterminer le tiers avec une exactitude absolue. Et ça, sans plus jamais avoir besoin de faire glisser quoi que ce soit physiquement.