Pentagones de Robbins : comment cinq côtés donnent sept aires ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors, si on prend trois bâtons de bois qu'on les attache ensemble par leurs extrémités, leur forme est figée pour l'éternité.

Intervenant 20:09

Ouais, c'est du solide.

Intervenant 10:10

Exactement. Mais prenez-en quatre et soudain, toute la structure s'effondre. Bienvenue dans cette immersion au cœur d'un mystère géométrique vraiment fascinant. Notre mission aujourd'hui, c'est de comprendre comment les mathématiciens mesurent l'air des formes géométriques. Ça paraît simple comme ça, mais on va partir d'un article super captivant sur ce qu'on appelle les pentagones de Robbins. Et cette plongée va nous emmener des petits tracés dans le sable de l'Antiquité, jusqu'aux limites absolues de nos ordinateurs modernes.

Intervenant 20:39

C'est clair, c'est vraiment un voyage qui illustre parfaitement comment un problème très visuel à la base, très concret, peut soudainement basculer dans une abstraction vertigineuse. On va voir que derrière des formes géométriques du quotidien, il se cache des structures algébriques d'une complexité telle qu'elles ont tenu en échec des générations entières de mathématiciens.

Intervenant 11:01

Bon, décortiquons tout ça. Le point de départ, il se situe dans une base très rassurante. C'est le triangle. Si la longueur des trois côtés d'un triangle est connue, la forme entière est verrouillée. En fait, c'est impossible de la déformer sans briser carrément l'un des côtés.

Intervenant 21:14

Ouais, c'est le fameux principe du trépied d'appareil photo.

Intervenant 11:17

Les branches sont fixées au sol, l'ensemble offre une rigidité absolue. Et le truc fou, c'est que cette rigidité physique, elle se traduit par une certitude mathématique. L'air à l'intérieur de ce triangle, l'espace qui l'occupe, est fixe. Elle ne peut pas varier d'un millimètre.

Intervenant 21:32

C'est ça. Et cette propriété mécanique fondamentale, c'est exactement ce qui a permis à Héron d'Alexandrie...

Intervenant 11:38

Il y a super longtemps, non ?

Intervenant 21:40

Oui, il y a environ 2000 ans. C'est ce qui lui a permis de formuler une équation d'une élégance vraiment remarquable. En fait, Héron a compris qu'il n'y avait même pas besoin de connaître la hauteur du triangle pour calculer sa surface.

Intervenant 11:51

Ce qui est fou quand on y pense, parce qu'à l'école, on apprend base fois hauteur divisé par deux.

Intervenant 21:56

Exactement. Mais lui, il s'est dit qu'il suffisait d'utiliser uniquement la longueur des trois côtés, c'est tout. Le mécanisme de son équation repose sur un équilibre hyper subtil entre ces trois longueurs.

Intervenant 12:08

Alors, pour ceux qui veulent visualiser, on prend les trois côtés, appelons-les A, B et C. La première étape, c'est de calculer le demi-périmètre. On le note petit p en général, donc c'est juste la somme des trois côtés, divisée par deux. Et la formule de Heron, elle dit que l'air, c'est égal à la racine carrée d'une grosse multiplication. On prend ce demi-périmètre, P, multiplié par P moins A, puis par P moins B et enfin par P moins C. Voilà. Chaque côté vient soustraire sa propre longueur au demi-périmètre global, sous la racine. C'est propre, c'est net, ça fonctionne à chaque fois.

Intervenant 22:43

Ça marche parfaitement. Mais le problème se pose dès l'instant où l'on ajoute un quatrième côté.

Intervenant 12:49

Ah oui, l'ajout d'un quatrième segment, ça change tout. Ça change la nature même de l'objet, en fait.

Intervenant 22:54

C'est clair. Avec quatre côtés de longueur fixe, genre, disons, 6, 8, 10 et 12, la forme n'est plus du tout contrainte. Elle devient articulée, comme tu disais dans l'intro.

Intervenant 13:05

C'est exactement comme essayer de construire un cadre en bois, tu sais, mais sans mettre les petites équerres métalliques dans les coins. C'est complètement flasque. On appuie un peu sur un des sommets et bim, le cadre va s'écraser. Il va s'aplatir en une sorte de losange étiré. Les angles vont se fermer ou s'ouvrir dans tous les sens.

Intervenant 23:24

Ouais, ça ne tient pas en

Intervenant 13:25

place. C'est ça. Et pendant toute cette déformation, l'espace à l'intérieur, donc l'air, change constamment. Elle peut même devenir presque nulle si le cadre est totalement aplati sur lui-même. Donc c'est mathématiquement impossible de créer une formule d'air pour un objet dont l'air n'arrête pas de changer.

Intervenant 23:43

Exactement ! Donc, la première étape logique pour les mathématiciens, ça a été de trouver un moyen de figer ce quadrilatère. Puisqu'il existe une infinité de formes possibles, avec ces quatre mêmes bouts de bois, il fallait chercher une forme spécifique, celle qui obéissait à une règle mathématique stricte.

Intervenant 14:01

Une sorte de repère, quoi ?

Intervenant 24:02

Voilà. Et la solution qu'ils ont trouvée, c'est de chercher la configuration qui offre la plus grande aire possible. Et la géométrie démontre un truc super élégant. Pour maximiser cette aire, il faut obliger les quatre sommets du quadrilatère à toucher le bord d'un cercle. Ah,

Intervenant 14:17

on l'enferme en fait.

Intervenant 24:19

C'est ça. On force la forme à s'inscrire dans un cercle parfait. Et c'est ce qu'on appelle un quadrilatère cyclique.

Intervenant 14:24

Et le simple fait de contraindre ces quatre points à rester sur une courbe circulaire, ça verrouille les angles instantanément. Le cadre flasque devient d'un seul coup aussi rigide que notre fameux trépied du début. Et d'ailleurs, il y a un détail amusant là-dessus, c'est que n'importe quel triangle est naturellement cyclique. En

Intervenant 24:43

fait,

Intervenant 14:44

il est toujours possible de tracer un cercle qui passe exactement par les trois sommets d'un triangle, quelle que soit sa forme. Donc le triangle, sans le savoir, il remplissait déjà les bonnes conditions. C'est

Intervenant 24:55

ça. Ce qui est fascinant ici, c'est que cette continuité géométrique a ouvert la voie, plusieurs siècles après Héron, à un astronome et mathématicien indien au 7e siècle. Il s'appelle Brahmagupta.

Intervenant 15:07

Brahmagupta, oui.

Intervenant 25:08

Il s'est penché sur ces quadrilatères figés dans un cercle et il a découvert une formule pour calculer leur air. Et franchement, l'architecture de cette formule, c'est une pure merveille de symétrie.

Intervenant 15:18

C'est vrai qu'elles ressemblent à s'y méprendre à celles de Héron dans l'Antiquité. On garde le fameux demi-périmètre P, sauf que maintenant il prend en compte les quatre côtés. Et l'air devient la racine carrée de P moins A fois P moins B fois P moins C fois P moins D. Le petit P tout seul du début a juste disparu pour laisser la place à ce quatrième terme, le P moins D.

Intervenant 25:40

Et la beauté de cette équation, c'est sa capacité à englober la précédente. C'est ça qui est génial. Imagine si on décide que la longueur du quatrième côté, donc le côté D, est égale à zéro.

Intervenant 15:50

D'accord, donc le quadrilatère se referme sur lui-même.

Intervenant 25:53

Voilà, il redevient un simple triangle. Et dans la formule, le terme P moins D devient simplement P moins zéro, c'est-à-dire P. Et boum, on retombe, au symbole près, sur l'équation des ronds. Les mathématiques nous offrent là une transition parfaite, sans aucun accroc de la forme à trois côtés à celle à quatre côtés.