Fractions continues : mieux approcher π que par ses décimales

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, une chaleureuse bienvenue à quiconque écoute.

Intervenant 20:05

Bonjour à tous, je suis ravi d'être là.

Intervenant 10:08

Alors, imaginons un instant de voir mesurer la longueur d'une table, mais avec une précision chirurgicale. Sauf que, à chaque fois qu'on franchit une frontière géographique, la règle qu'on utilise pour mesurer change soudainement de taille, de graduation et même de logique mathématique.

Intervenant 20:25

Ah oui, ce serait un cauchemar absolu pour l'ingénierie, ça.

Intervenant 10:28

Mais carrément, on s'attend tous instinctivement à ce que les mathématiques soient le domaine suprême de l'absolu, non ? Un nombre est un nombre, point final. Mais quand on regarde de très près la manière dont on écrit ces nombres au quotidien, on s'aperçoit avec effroi que notre système ressemble terriblement à cette fameuse règle déformée.

Intervenant 20:46

Ouais, c'est une excellente façon de poser le problème. On a vraiment trop souvent tendance à confondre l'essence pure d'un nombre avec, disons, la façon dont on l'habille. L'écriture habituelle que tout le monde utilise avec ses virgules et ses suites de chiffres, c'est juste un vêtement culturel. Un habit, oui. Voilà. C'est une construction historique et surtout c'est une construction pleine de biais fondamentaux.

Intervenant 11:09

D'accord, décortiquons tout ça. Notre exploration approfondie d'aujourd'hui s'appuie sur un article fascinant intitulé « Les fractions continues ». Et la mission de cette plongée mathématique, c'est vraiment de comprendre comment se débarrasser définitivement de cette règle déformée.

Intervenant 21:23

Exactement.

Intervenant 11:24

Découvrir comment écrire les nombres réels de manière universelle, sans dépendre du choix arbitraire d'une base de calcul. Et en fin de parcours, je garde un peu de suspense, on va révéler comment le fameux nombre d'or, qui est entouré de tant de mystiques, est mathématiquement l'irrationnel le plus simple à écrire de tout l'univers.

Intervenant 21:44

C'est un véritable changement de paradigme, tu sais. Passer de l'écriture décimale classique aux fractions continues, ça nous oblige à abandonner des siècles d'habitudes visuelles. Mais c'est pour toucher du doigt la véritable anatomie des mathématiques. L'article commence d'ailleurs par secourir une idée reçue super tenace, à savoir notre fameuse base 10.

Intervenant 12:02

Ben oui, pourquoi s'accroche-t-on à ce système décimal comme s'il s'agissait d'une loi de la physique ?

Intervenant 22:07

Eh bien parce qu'on a 10 doigts !

Intervenant 12:08

C'est ça, l'article nous rappelle ce fait presque dérangeant. La base 10 n'a absolument rien de mathématique. C'est un pur accident de l'évolution biologique. On compte en base 10 uniquement parce qu'on a 10 doigts au bout des mains.

Intervenant 22:21

C'est fou quand on y pense.

Intervenant 12:23

Complètement. Si l'humanité avait évolué avec 8 doigts, toute notre civilisation contrerait en base 8. Et l'histoire le prouve très bien. Les babyloniens utilisaient la base 60.

Intervenant 22:32

Ah, la fameuse base sexagésimale.

Intervenant 12:35

C'est d'ailleurs pour ça qu'aujourd'hui encore, on a 60 minutes dans une heure ou 362 degrés dans un cercle. De leur côté, les ordinateurs, vu qu'ils n'ont pas de doigt, mais des interrupteurs électriques, ils calculent en base 2 ou en base 16.

Intervenant 22:47

Le système hexadécimal, oui. Et le vrai problème avec toutes ces bases arbitraires, c'est qu'elles donnent souvent la fausse impression qu'un nombre est extraordinairement complexe, alors qu'il est en réalité très très simple.

Intervenant 13:00

Tu as un exemple en tête ?

Intervenant 23:02

Oui, prenons un grand classique, la fraction 1 tiers. En base 3, c'est un nombre propre, net, fini. Ça s'écrit 0,1.

Intervenant 13:11

D'accord.

Intervenant 23:11

Mais parce qu'on s'obstine à utiliser nos dix doigts humains, en base 10, ce même nombre 1 tiers se transforme en 0,33333 avec des 3 qui se répètent jusqu'à l'infini.

Intervenant 13:22

Ah ouais, une horreur visuelle.

Intervenant 23:24

Exactement. La complexité et le chaos ne sont pas dans le nombre lui-même, ils sont causés par les lunettes décimales qu'on refuse d'enlever. Alors la notation en fractions classique, du type un entier sur un autre entier, résout bien sûr ce problème pour ce qu'on appelle les nombres rationnels.

Intervenant 13:39

Les proportions simples en d'autres termes.

Intervenant 23:41

C'est ça. Mais dès qu'on s'aventure sur le territoire des nombres irrationnels, ces nombres qui refusent obstinément d'être enfermés dans une simple fraction de deux entiers, eh bien, notre système s'effondre. Il ne produit plus qu'une suite chaotique et imprévisible de décimales.

Intervenant 13:59

Alors, la grande question, comment on fait abstraction de nos dix doigts ? Apparemment, la solution dormait depuis plus de deux millénaires dans un texte antique.

Intervenant 24:07

Oh que oui !

Intervenant 14:08

Le septième livre des éléments du Clyde, l'article détaille le fameux algorithme du Clyde. À l'école, on apprend que c'est une petite technique pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres. Mais comment passe-t-on d'un simple exercice de division à un langage mathématique universel ?

Intervenant 24:24

Eh bien, il faut déconstruire la mécanique interne de la division. Faisons l'exercice mentalement, tu veux bien ?

Intervenant 14:30

Je suis prête.

Intervenant 24:30

Imaginons deux nombres entiers positifs. Appelons-les A et B. En précisant que A est plus grand que B. L'algorithme de Clyde nous demande de diviser le grand par le petit. On divise A par B. Cela nous donne un quotient, qu'on appellera Q1, et un reste R1.

Intervenant 14:48

Tout à fait classique, c'est la division euclidienne qu'on pose sur le papier à l'école primaire. Par exemple, si on divise 7 par 3, le quotient est 2 et il reste 1. L'équation de base, c'est a est égal à b multiplié par q1 plus le reste est 1.

Intervenant 25:02

Parfait. Maintenant, au lieu de lire cette équation sur une seule ligne de façon linéaire, on va chercher à recréer notre proportion de départ. On divise toute l'équation par b.

Intervenant 15:12

Ok, je te suis.

Intervenant 25:13

À gauche, on a donc notre fraction initiale, a sur b. À droite, l'équation devient q1 plus la fraction du reste, r1 sur b. Et c'est précisément ici qu'intervient le tour de magie algébrique.

Intervenant 15:26

Ah, le moment crucial !

Intervenant 25:28

Le terme R1 sur B, on ne le laisse pas tel quel. On le force à passer au dénominateur en l'inversant. On l'écrit comme un grand 1 divisé par la fraction inverse B sur R1.

Intervenant 15:40

Attendez, je visualise le truc. Donc on prend notre reste sur le diviseur, on le retourne la tête en bas et on le glisse sous un grand chiffre 1. Ça crée littéralement une fraction à l'intérieur d'une fraction.

Intervenant 25:52

Voilà, c'est ça.

Intervenant 15:53

C'est le principe des poupées russes en fait. On ouvre la première fraction pour en cacher une plus petite à l'intérieur.

Intervenant 25:58

Précisément. Ce qui est fascinant ici, c'est que la nouvelle petite poupée russe, la fraction B sur R1, est elle aussi une division entre deux entiers. On peut donc lui appliquer exactement la même règle encore et encore.

Intervenant 16:11

On recommence la boucle ?

Intervenant 26:12

On divise B par R1, on obtient un nouveau quotient Q2 et un nouveau reste R2. On inverse à nouveau cette partie et on la glisse sous un autre 1. On se retrouve avec une cascade q1 plus 1 sur q2 plus 1 sur une autre fraction et ainsi de suite.

Intervenant 16:30

Ça donne le vertige.

Intervenant 26:32

C'est vrai. On creuse, étage par étage, vers le bas de la fraction. Et puisque chaque nouveau reste est un entier strictement positif, mais toujours plus petit que le précédent, cette descente s'arrête obligatoirement lorsqu'on trouve un reste nul.

Intervenant 16:45

Et bim, la cascade s'arrête.

Intervenant 26:47

En déployant ces poupées russes, on vient de complètement court-circuiter le besoin d'utiliser la base 10.

Intervenant 16:53

Au lieu de traîner des décimales biaisées, on ne garde que la suite des quotients successifs trouvés à chaque étage, les q1, q2, q3.

Intervenant 27:00

Exactement.

Intervenant 17:01

On note cette suite entre de simples crochets. C'est une manière d'extraire l'ADN mathématique pur du nombre.

Intervenant 27:07

L'ADN du nombre, c'est vraiment le terme idéal. Pour les nombres rationnels, comme le reste finit irrémédiablement par tomber sur zéro, le développement en fractions continues est toujours fini. La liste entre les crochets a une fin.

Intervenant 17:20

La plus petite poupée russe est vide et l'histoire se termine.

Intervenant 27:24

Voilà.

Intervenant 17:25

Mais cela soulève un immense problème logique. Que se passe-t-il quand la division ne tombe jamais juste ? Si on prend un nombre irrationnel, on plonge dans le vide absolu, non ? On ne trouve jamais le zéro.

Intervenant 27:36

Et oui, c'est là qu'on fait le grand saut conceptuel vers l'infini. Et crois-moi, c'est un saut qui a terrifié pas mal de pionniers des maths. Au XVIIe siècle, des esprits brillants comme le mathématicien britannique William Brunker ont commencé à jouer avec ces vertigineuses cascades sans fin.

Intervenant 17:52

Et ils ne sont pas devenus

Intervenant 27:53

fous ? Presque.