Des axiomes à l’industrie : l’abstraction en podcast

Intervenant 10:00

Imagine un chercheur brillant, vraiment le spécialiste des concepts mathématiques les plus abstraits de l’univers, qui quitte soudainement son institut de recherche pour bosser chez un géant de la téléphonie mobile.

Intervenant 20:11

Oui, ça paraît complètement contre-intuitif.

Intervenant 10:14

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Au programme aujourd'hui, on fait une plongée dans une série d'articles fascinants pour comprendre comment les mathématiques se sont détachées de notre intuition visuelle.

Intervenant 20:26

C'est ça, pour devenir une affaire de pure structure.

Intervenant 10:29

Et surtout, comment ces structures finissent par faire fonctionner nos smartphones ? Alors, pour comprendre ce basculement, il faut remonter à la fin du XIXe siècle, c'est bien ça ?

Intervenant 20:38

Tout à fait. Pendant des millénaires, en gros depuis les éléments d'Euclide, faire de la géométrie consistait à dessiner mentalement des figures. Mais le mathématicien allemand David Hilbert a réalisé que cette intuition visuelle cachait, disons, des failles logiques. Il a donc décidé de refondre complètement la discipline.

Intervenant 10:58

Ah, avec ses fameux 20 axiomes, en évacuant totalement l'aspect visuel.

Intervenant 21:03

Exactement.

Intervenant 11:04

Mais attends, de la géométrie sans rien visualiser. Je veux dire, comment on conçoit un point ou une droite si on n'a plus le droit de se les représenter dans l'espace ?

Intervenant 21:12

Eh bien, pour Hilbert, on s'en moque complètement. Il affirmait même qu'on devrait pouvoir remplacer les mots « point » et « droite » par, alors c'est très drôle, « chaise » et « verre à bière ».

Intervenant 11:21

Un verre à bière, vraiment.

Intervenant 21:22

Ouais, sans que cela ne change la justesse du raisonnement. En fait, la nature physique des objets n'a aucune importance, seuls compte les relations mathématiques qu'ils entretiennent entre eux.

Intervenant 11:32

Ah d'accord, je crois que je saisis. C'est exactement comme les échecs ou n'importe quel jeu de société quoi.

Intervenant 21:38

C'est-à-dire ?

Intervenant 11:39

Bah si je perds un cavalier et que je le remplace par un bouchon en liège, la partie continue normalement. Ce qui crée le jeu, c'est le règlement, c'est pas la sculpture de la pièce en elle-même.

Intervenant 21:48

C'est parfaitement résumé. Et en appliquant cette logique, un principe historique comme le postulat d'Euclide sur les droites parallèles n'est plus perçu comme une loi incontournable de la nature.

Intervenant 11:59

C'est juste une règle du jeu parmi d'autres.

Intervenant 22:01

Voilà. Si on change la règle, on crée une géométrie différente, mais tout aussi cohérente.

Intervenant 12:06

Donc, si cette approche par règle stricte fonctionne si bien pour la géométrie, j'imagine que l'étape suivante, c'était de l'appliquer partout.

Intervenant 22:14

Absolument, et c'est ce qui s'est passé en France dès 1934 avec la création du collectif Nicolas Bourbaki. Ce groupe a voulu étendre cette méthode axiomatique à l'intégralité des mathématiques pures.

Intervenant 12:26

C'est fou parce que nos sources décrivent ce groupe presque comme une société secrète.

Intervenant 22:30

C'est vrai, il y avait un côté très mystérieux, l'anonymat était préservé, il y avait même l'obligation de démissionner à 50 ans.

Intervenant 12:36

Et ils ont produit cette œuvre colossale, les éléments de mathématiques, avec un choix très provocateur, le mot mathématique est au singulier.

Intervenant 22:44

Et ce singulier est fondamental, il revendique l'idée qu'il n'y a plus l'algèbre d'un côté et la géométrie de l'autre.

Intervenant 12:50

Tout est lié en fait.

Intervenant 22:51

Exactement, il n'y a qu'une seule immense structure interconnectée. Cette volonté d'unification a vraiment dominé la recherche des années 60. Pourtant, Bourbaki a fini par buter sur un écueil.

Intervenant 13:03

En excluant de leur traité la théorie des catégories, c'est ça ?

Intervenant 23:07

Oui, des concepts qui étaient jugés à l'époque trop abstraits.

Intervenant 13:11

Ce qui nous amène à ces notions si poussées qu'elles ont gagné un surnom très ironique, le non-sens abstrait ou abstract nonsense. Et on pourrait croire que ces théories planent à des années-lumières de la réalité, mais ça nous ramène à notre chercheur du début, Laurent Laforge. La

Intervenant 23:27

médaille Fields

Intervenant 13:29

de 2002. Voilà. Et en 2021, il quitte la recherche académique pour rejoindre Weiwei, le géant des télécommunications.

Intervenant 23:35

Oui, la forge est célèbre pour ses travaux sur les conjectures de Langlands, qui créent des ponts vertigineux entre des domaines mathématiques apparemment

Intervenant 13:43

distincts.

Intervenant 23:44

Et chez Huawei, il explore des objets ultra-abstraits appelés les topos de grottes indiaques.

Intervenant 13:50

Hop, attends, pause ! Si nos auditeurs se demandent ce qu'est un topos, ou comment ce non-sens abstrait peut soudainement aider des ingénieurs à améliorer la 5G... Ouais ? Je les rassure, je me pose exactement la même question. Comment on passe du tableau noir au réseau téléphonique ?

Intervenant 24:07

C'est une question de saturation. Aujourd'hui, nos réseaux télécoms et le flux de données mondiales sont d'une complexité ahurissante. L'ingénierie classique, ça ne suffit plus du tout.

Intervenant 14:16

Pour optimiser le trajet de milliards d'informations, tu veux dire ?

Intervenant 24:19

C'est ça, à travers les antennes et les serveurs. Imagine qu'un topos est une sorte de traducteur universel, ou un pont suspendu entre différents paysages mathématiques.

Intervenant 14:29

Donc, si un problème de transmission de données est un cauchemar à résoudre dans un paysage, disons, algébrique...

Intervenant 24:35

Exactement. La théorie des topos permet de le traduire instantanément dans un paysage géométrique abstrait, où là, la solution devient évidente pour le réseau.

Intervenant 14:44

C'est incroyable ! Les télécoms utilisent aujourd'hui ces structures purement théoriques comme la nouvelle cartographie pour router nos données. C'est fascinant ! On invente des structures uniquement pour le frisson intellectuel, pour la beauté de l'abstraction

Intervenant 25:00

pure.

Intervenant 15:01

Et des décennies plus tard, elles deviennent le seul moyen de faire circuler l'information dans nos poches. Ce qui amène d'ailleurs une réflexion vertigineuse pour clore cette exploration.

Intervenant 25:10

Si

Intervenant 15:10

l’abstract nonsense, pensé initialement en dehors de toute réalité physique, finit systématiquement par trouver une application matérielle concrète, est-ce que cela signifie que l'esprit humain est fondamentalement incapable d'inventer une structure logique qui ne soit pas déjà, d'une manière ou d'une autre, inscrite dans le fonctionnement de

Intervenant 25:30

l'univers ?

Intervenant 15:32

De quoi laisser songeur ! Merci à tous de nous avoir suivis et à très bientôt pour une nouvelle plongée mathématique !