13e problème de Hilbert : résolu en continu, ouvert en algèbre

Intervenant 10:00

Comment un étudiant de 19 ans a-t-il pu résoudre un problème mathématique jugé impossible pendant plus d'un demi-siècle ?

Intervenant 20:08

Et ça en n'utilisant qu'une simple addition. C'est vraiment ça qui est fou.

Intervenant 10:12

C'est complètement dingue. Bienvenue donc dans le podcast du magazine Tangente pour cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques. Aujourd'hui, on va décortiquer le célèbre troisième problème de Hilbert.

Intervenant 20:23

Ouais, c'est l'histoire d'un véritable coup de théâtre académique en fait. Fort monté à l'année 1900, quand le grand mathématicien David Hilbert pose ses 23 défis majeurs.

Intervenant 10:34

Les fameux problèmes de Hilbert, qui ont guidé tout le siècle.

Intervenant 20:37

Exactement. Et le 13e, il concerne un domaine qu'on appelle la nomographie. En gros, c'est la résolution d'équations par l'intersection de courbes.

Intervenant 10:45

D'accord.

Intervenant 20:45

Hilbert, il se demandait si les racines d'une équation très spécifique, de degré 7, donc du type x puissance 7, plus ax cube, etc., si elles pouvaient s'exprimer via des fonctions d'au plus deux variables.

Intervenant 11:02

Parce que jusqu'au degré 6, ça fonctionnait, c'est bien ça.

Intervenant 21:04

C'est ça, oui. Mais Hilbert, lui, il était persuadé que le degré 7 posait une sorte de mur fondamental qui exigerait forcément trois variables.

Intervenant 11:14

Pour bien visualiser ça, moi, j'aime bien l'analogie de la feuille de papier. La nomographie utilise des abacs, donc des grilles dessinées sur une simple surface plane en deux dimensions.

Intervenant 21:23

Ouais, c'est une très bonne image, ça aide à comprendre.

Intervenant 11:25

Avec deux variables, on lit une solution en croisant deux lignes sur ce papier. Mais si la solution exigeait trois variables, le papier plat ne suffirait plus du tout.

Intervenant 21:34

Il faudrait carrément construire un espace en trois dimensions.

Intervenant 11:37

Et à ça, Hilbert pensait que la complexité de ce dédresset forçait justement l'utilisation de cette dimension supplémentaire.