18 nov. 2021 · 24 min
Programme d’Erlangen : ce qui reste fixe définit la géométrie
Dans cet épisode, suivez l’idée de Felix Klein : classer les géométries par leurs transformations et les propriétés qu’elles conservent.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on démarre une plongée fascinante dans un texte qui va complètement bouleverser notre façon de voir les formes qui nous entourent.
Intervenant 2
Bonjour tout le monde. Et oui, on s'attaque à un vrai monument de l'histoire des sciences aujourd'hui.
Intervenant 1
Absolument. Alors, pour se mettre dans le bain, imaginons un carré parfait dessiné sur une feuille de caoutchouc.
Intervenant 2
D'accord.
Intervenant 1
Maintenant, on étire cette feuille dans tous les sens. On la tord, on la tire de biais, jusqu'à ce que ce fameux carré ressemble à une simple ligne un peu écrasée, quoi. La question, c'est à quel moment ce carré cesse-t-il d'être un carré ?
Intervenant 2
C'est une excellente question.
Intervenant 1
Est-ce qu'il a été détruit par ses déformations ? Ou bien, est-ce qu'il existe une sorte d'essence secrète de cette forme, qui survit à toutes ses tortues physiques ? Littéralement. Donc aujourd'hui, on explore le célébrissime programme d’Erlangen.
Intervenant 2
C'est un point départ fantastique. Et il faut bien comprendre l'ampleur du séisme à l'époque. Parce qu'avant 1872, la géométrie, c'était un peu comme un immense catalogue d'observations isolés.
Intervenant 1
Un inventaire de figures, quoi.
Intervenant 2
Voilà. On avait la géométrie classique d'Euclide, qu'on connaît tous, mais aussi de nouvelles géométries très étranges qui commençaient à émerger et qui semaient une vraie panique chez les mathématiciens.
Intervenant 1
Et là, Félix Klein arrive.
Intervenant 2
Exactement. Félix Klein, à seulement 23 ans donc, arrive pour sa nomination comme professeur à l'Université d'Erlanger. Et lors de sa conférence, il propose de tout unifier.
Intervenant 1
Sans rajouter de nouvelles équations imbuvables, j'imagine.
Intervenant 2
Non, pas du tout. Il propose de changer radicalement notre façon de regarder l'espace.
Intervenant 1
Et c'est ce changement de perspective qui est au cœur de notre exploration aujourd'hui. Pour poser les bases, Klein introduit deux concepts inédits. Les groupes de transformation et les invariants.
Intervenant 2
Oui, ce sont vraiment les mots clés.
Intervenant 1
Pour visualiser ça de manière très actuelle, c'est un peu comme si on prenait une photo sur les réseaux sociaux. Si on applique des filtres, qu'on change la teinte ou qu'on étire les bords, on modifie l'image. C'est
Intervenant 2
une très bonne
Intervenant 1
analogie. Eh bien l'approche de Klein consiste à dire, au lieu de regarder ce qui change, traquons de manière obsessionnelle ce qui refuse de changer, ce qui résiste à nos filtres en fait.
Intervenant 2
C'est tout à fait ça. Ces résistants, ce sont les fameux invariants. Et la fulgurance de Klein, c'est de renverser la définition même de la géométrie.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Eh bien, pour lui, une géométrie n'est plus l'étude d'un espace immobile. C'est l'étude d'un groupe d'actions, de mouvements, et surtout de ce qui survit à ces mouvements.
Intervenant 1
Ah oui, je vois. Donc le jeu, c'est de déformer de plus en plus fort ?
Intervenant 2
Exactement. Plus on s'autorise des déformations violentes, moins il y a de choses qui résistent. Klein imagine ça comme une gigantesque série de poupées russes. Chaque nouvelle poupée englobe la précédente, en autorisant des filtres ou des déformations de plus en plus extrêmes.
Intervenant 1
D'accord, alors ouvrons la toute première de ces poupées russes. C'est notre zone de confort totale en fait.
Intervenant 2
Ah bah oui, là c'est le monde rassurant qu'on apprend à l'école primaire, la géométrie euclidienne.
Intervenant 1
Le royaume des règles bien droites, des équerres inflexibles quoi.
Intervenant 2
Voilà. Dans cette première poupée, le socle fondamental, c'est ce que Klen appelle le groupe des isométries. Une isométrie, c'est une transformation extrêmement sage.
Intervenant 1
On ne casse rien.
Intervenant 2
On ne casse rien du tout. On prend une figure, on la glisse sur la table, on la fait tourner sur elle-même. On peut même la retourner comme une crêpe pour voir son reflet dans un miroir, mais on ne touche jamais à son intégrité physique.
Intervenant 1
Et la conséquence directe de ça, c'est que toutes les mesures survivent. Les longueurs restent les mêmes, les angles sont figés, les surfaces sont identiques. Et si deux lignes étaient parallèles, elles le restent.
Intervenant 2
C'est vraiment le monde du copier-coller parfait.
Intervenant 1
Mais bon, pour que cette poupée russe devienne intéressante, le texte mentionne qu'on lui accorde un premier degré de liberté. Les similitudes.
Intervenant 2
Ah, les similitudes. C'est là qu'on s'autorise à jouer avec la molette du zoom.
Intervenant 1
Donc on agrandit ou on rétrécit.
Intervenant 2
Exactement. On garde les déplacements rigides dont on vient de parler, mais on ajoute les homothésies, c'est-à-dire des changements d'échelle uniformes. Et là,
Intervenant 1
il y a des choses qui
Intervenant 2
cassent. Forcément. Si on zoome sur un triangle pour le rendre trois fois plus grand, on perd un invariant majeur, la longueur. Les côtés sont plus longs, la surface explose.
Intervenant 1
Logique.
Intervenant 2
Mais, et c'est là que ça devient très puissant, les angles, eux, refusent de changer. Un angle droit reste un angle droit, même vu de très loin.
Intervenant 1
Et surtout, les proportions entre les morceaux de la figure restent parfaitement identiques,
Intervenant 2
n'est-ce pas ? Oui, les rapports de longueur sont les nouveaux invariants de cette poupée russe. C'est la magie de l'invariance. On a souvent tendance à voir la géométrie comme une avalanche de calculs algébriques, de lettres et de chiffres barbares. Mais Klein nous dit que la forme porte en elle-même la preuve.
Intervenant 1
Vous avez un exemple concret en tête ?
Intervenant 2
Prenons l'exemple le plus célèbre de toutes les mathématiques, le théorème de Pythagore. Traditionnellement, on sort les formures, au grand désespoir des collégiens d'ailleurs.
Intervenant 1
Oh oui, A carré plus B carré, on connaît la chanson.
Intervenant 2
Eh bien, avec le regard de Klein, c'est purement visuel. Imaginons un grand triangle rectangle.
Intervenant 1
Ok, je l'imagine.
Intervenant 2
Si on trace une ligne droite depuis l'angle droit pour couper le côté opposé de manière bien perpendiculaire, on vient de trancher notre grand triangle en deux triangles rectangles plus petits.
Intervenant 1
D'accord, j'ai l'image en tête. Un grand triangle coupé en deux petits triangles adhérents à l'intérieur. Mais en quoi notre fameux zoom nous aide ici ?
Intervenant 2
Eh bien, si on observe bien les angles de ces trois triangles, le grand original et les deux petits morceaux, on se rend compte par un jeu logique élémentaire qu'ils ont exactement les mêmes angles.
Intervenant 1
Oh d'accord, donc ce sont des clones parfaits, deux tailles différentes.
Intervenant 2
Exactement, ce sont des triangles semblables. Maintenant, oublions les formules complexes, raisonnons uniquement en termes de surface. La surface du grand triangle est, de toute évidence, égale à la somme des surfaces des deux petits morceaux qui le composent.
Intervenant 1
Une logique implacable. Le tout est la somme des parties. Mais où est Pythagore là-dedans ?
Intervenant 2
Eh bien, puisque ces trois triangles ont exactement la même forme, la surface de chacun dépend uniquement de son échelle, c'est-à-dire de la taille de son plus grand côté, l'hypoténuse.
Intervenant 1
Ok, je vous
Intervenant 2
suis. Donc si on met à l'échelle la surface des deux petits triangles pour qu'elle corresponde au grand, on additionne simplement le carré du plus grand côté du premier petit triangle avec le carré du plus grand côté du deuxième triangle.
Intervenant 1
Et cela donne, proportionnellement, le carré du grand côté du triangle total. C'est dingue !
Intervenant 2
Oui. Pas besoin d'aligner des divisions et des multiplications abstraites.
Intervenant 1
C'est époustouflant, vraiment. Pythagore n'est pas un calcul imposé de l'extérieur, c'est juste une conséquence inévitable du fait qu'un triangle rectangle peut se diviser en deux versions miniatures de lui-même.
Intervenant 2
C'est le triomphe de la forme sur le calcul, exactement.
Intervenant 1
Mais alors si un simple zoom uniforme permet des miracles pareils, que se passe-t-il quand on passe à la deuxième poupée russe ?
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