France : où est le point le plus loin des frontières et de la mer ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un immense plaisir d'accueillir les auditeurs aujourd'hui pour une nouvelle aventure.

Intervenant 20:07

Bonjour Evelyne.

Intervenant 10:08

Et ouais, une aventure qui va sérieusement bousculer nos repères géographiques.

Intervenant 20:13

Ah ça, c'est le moins qu'on puisse dire.

Intervenant 10:15

Alors, je commence avec une question toute bête. Où se trouve le vrai centre de la France ?

Intervenant 20:20

Ben, posez la question à des passionnés de géographie et c'est la guerre civile assurée.

Intervenant 10:25

C'est ça. Parce que selon le critère mathématique qu'on choisit, on atterrit dans le département du Cher, dans l'Indre ou même figurez-vous à la pointe du Finistère.

Intervenant 20:34

Ouais, c'est fou. Ça dépend complètement de la définition.

Intervenant 10:37

Du coup, notre mission aujourd'hui, pour cette plongée au cœur de nos sources, c'est d'oublier, mais alors complètement, le bon vieux centre de gravité.

Intervenant 20:45

Voilà, le point d'équilibre classique, on le met de côté.

Intervenant 10:48

On va plutôt partir à la recherche du point le plus éloigné possible de toute frontière.

Intervenant 20:53

Et c'est là que ça devient vraiment passionnant. Sous cette petite curiosité géographique, il y a des problèmes mathématiques sublimes, des problèmes de définition, d'existence et de calcul, d'optimisation.

Intervenant 11:05

Bon, décortiquons un peu tout ça. Chercher l'endroit le plus éloigné de la frontière la plus proche, nos sources appellent ça le problème du maxima.

Intervenant 21:14

Exactement, le maxi-min.

Intervenant 11:16

Et franchement, la première fois que j'ai lu qu'on cherchait à, je cite, « maximiser un minimum », mon cerveau a fait un petit blocage. C'est un oxymore,

Intervenant 21:24

non ? Ça en a l'air, oui.

Intervenant 11:25

Mais en fait, l'image mentale est super intuitive.

Intervenant 21:28

Ah

Intervenant 11:28

oui ! Imaginez que vous êtes n'importe où sur une carte. La distance jusqu'à la frontière la plus proche, c'est la ligne droite la plus courte pour sortir du pays. C'est ce qu'on appelle la borne inférieure. D'accord, donc c'est ma fameuse distance minimale.

Intervenant 21:41

C'est ça. Eh bien, le problème du maxima, c'est de trouver le spot exact sur la carte qui rend cette petite ligne la plus longue possible par rapport à toutes les autres positions qu'on pourrait prendre.

Intervenant 11:54

Attendez, j'ai une image pour ça que j'ai trouvé géniale en préparant cette exploration. Imaginez une bulle, un ballon de baudruche qu'on gonfle autour de soi.

Intervenant 22:02

Ah oui, très bonne analogie.

Intervenant 12:04

Le ballon grandit, grandit, jusqu'à toucher une frontière. Paf, l'impact. Le rayon de la bulle à ce moment-là, c'est notre fameux minimum.

Intervenant 22:13

Et le but du jeu, c'est de se balader sur la carte pour trouver l'endroit où ce ballon peut devenir le plus énorme possible avant de heurter à un bord.

Intervenant 12:21

C'est hyper clair. Bon, alors faisons un petit test instinctif.

Intervenant 22:24

Allez-y.

Intervenant 12:25

Imaginons un pays qui n'a que deux points de frontières, juste deux piquets isolés sur une feuille blanche. Ce que nos documents appellent un bipoint.

Intervenant 22:33

Un cas purement théorique donc.

Intervenant 12:34

Voilà. Eh ben, mon instinct me crie que le point le plus éloigné de ces deux piquets, c'est forcément le milieu exact entre les deux.

Intervenant 22:41

Et bam, le piège aux capquisses.

Intervenant 12:43

Sérieux, c'est faux.

Intervenant 22:44

Complètement faux. C'est ça qui est fascinant ici en topologie. L'intuition nous pousse vers la symétrie. Mais en fait, le milieu, c'est littéralement le pire endroit possible.

Intervenant 12:52

Mais comment c'est possible ? Si je quitte le milieu pour aller vers l'un des points, ma bulle va rétrécir.

Intervenant 22:58

Oui, si vous marchez sur la ligne qui relie les deux points. Mais que se passe-t-il si vous vous échappez sur le côté ?

Intervenant 13:04

Sur le côté, vous voulez dire perpendiculairement ?

Intervenant 23:07

Exactement, sur la médiatrice. Si vous partez du milieu et que vous marchez le long de cette ligne perpendiculaire, vous restez à égale distance des deux piquets.

Intervenant 13:16

Ah mais oui, et je m'en éloigne de plus en plus.

Intervenant 23:18

Voilà, la distance augmente continuellement vers l'infini.

Intervenant 13:22

C'est un truc de dingue !

Intervenant 23:23

Donc pour un bipoint, il n'y a tout simplement aucune solution. Pas de centre maximal, car la bulle peut grossir à l'infini.

Intervenant 13:30

Bon, alors il faut qu'on ferme un peu l'espace pour que ça marche. Ajoutons un troisième piqué, un tripoint.

Intervenant 23:36

Là, on a une vraie solution. Avec un triangle, la fuite infinie est bloquée. Le point d'éloignement maximal, c'est le centre du cercle circonscrit.

Intervenant 13:45

C'est-à-dire l'endroit où se croisent les médiatrices, c'est ça ?

Intervenant 23:47

Tout à fait.