Fractale de Cantor : zéro longueur, un continu de points

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente pour une nouvelle exploration mathématique. Aujourd'hui, on va décortiquer un véritable casse-tête. Comment un objet géométrique peut avoir une longueur totalement nulle, être complètement vide à l'intérieur et pourtant contenir exactement le même nombre de points qu'une ligne continue infinie ?

Intervenant 20:19

Oui, c'est typiquement le genre de paradoxe où notre intuition spatiale s'effondre complètement. Il n'y a que la logique pure qui permet d'y voir clair en fait.

Intervenant 10:28

C'est ça. Et donc notre mission aujourd'hui, c'est de comprendre l'ensemble triadique de Cantor, qui a été pensé en 1883. C'est le tout premier objet fractal.

Intervenant 20:38

Ouais, bien avant les célèbres images de Mandelbrot d'ailleurs.

Intervenant 10:41

Exactement. Mais bon, avant de s'attaquer à l'infini, comment on le fabrique concrètement cet objet ?

Intervenant 20:46

Ben, la recette de base est super simple. On prend un segment de droite qui va de 0 à 1.

Intervenant 10:51

D'accord.

Intervenant 20:52

Et on retire le tiers central, donc l'espace ouvert entre un tiers et deux tiers. Ensuite, on prend les deux morceaux qui restent et on recommence.

Intervenant 11:00

On coupe en trois et on enlève le milieu.

Intervenant 21:02

Voilà. Et on répète ça à l'infini.

Intervenant 11:04

Alors, pour visualiser, c'est un peu comme une très longue baguette de pain. On coupe le tiers central, on le retire. Sur les deux bouts restants, on coupe le milieu, on le retire. Et à force de répéter l'opération, la longueur totale de la baguette, elle tend inévitablement vers zéro.

Intervenant 21:19

C'est pour ça que les textes mathématiques parlent de la poussière de Cantor.

Intervenant 11:23

Mais cette poussière, elle finit pas par s'effacer complètement dans le néant à force de couper ?

Intervenant 21:28

Visuellement oui, le résultat semble nul.