Tétraèdres rationnels : l’énigme résolue après 44 ans

Intervenant 10:00

Bonjour à toutes et à tous et bienvenue dans cette nouvelle émission. C'est le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:06

Bonjour et merci de m'avoir invitée. Je suis vraiment ravie d'être là.

Intervenant 10:10

Mais c'est un plaisir. Alors aujourd'hui, on va faire une vraie plongée dans un sujet qui est franchement fascinant. On a tous en tête la géométrie qu'on faisait au collège sur une feuille de papier, non ? C'est super rassurant.

Intervenant 20:20

Exactement. Le fameux triangle avec la somme de ses angles qui fait toujours 180 degrés. C'est plat, c'est établi, il n'y a pas de surprise.

Intervenant 10:27

Voilà, c'est ça. Mais alors, qu'est-ce qui se passe quand on quitte ce monde rassurant de la 2D ? Genre quand on ajoute une troisième dimension avec les tétraèdres, vous savez, ces petites pyramides à bases triangulaires ?

Intervenant 20:38

Là, les règles du jus, elles changent, mais du tout au tout. L'intuition humaine, en fait, elle se brise complètement sur la complexité de l'espace en 3D.

Intervenant 10:48

Et c'est exactement la mission de notre exploration aujourd'hui. On va essayer de percer un mystère géométrique, un truc qui a littéralement tenu tête aux plus grands mathématiciens pendant plus de 40 ans.

Intervenant 20:59

C'est clair. On parle d'une affaire avec des polygones bizarres, des équations complètement monstrueuses et une équipe de chercheurs qui a récemment trouvé la solution avec une méthode incroyable.

Intervenant 11:11

Ouais, c'est une sacrée aventure intellectuelle. Mais bon, avant de foncer tête baissée dans les équations géantes, il faut qu'on pose les bases. Comment on mesure un angle dans un objet en 3D comme un tétraèdre ? En 2D c'est facile, c'est juste deux lignes qui se croisent quoi.

Intervenant 21:24

C'est vrai que c'est un peu ambigu en volume. On pourrait très bien prendre les faces plates du tétraèdre et mesurer les angles normaux sur chaque triangle.

Intervenant 11:32

Mais c'est pas ça qui nous intéresse aujourd'hui-ci.

Intervenant 21:35

Non, pas du tout. Le vrai cœur du problème, ce sont les angles qu'on appelle dièdres.

Intervenant 11:40

Dièdres. D'accord.

Intervenant 21:42

Oui. En fait, pour visualiser, imaginez un livre à moitié ouvert. L'angle dièdre, c'est l'angle qui est formé entre la page de gauche et la page de droite, pile au niveau de la relure.

Intervenant 11:52

Ah ! Super image ! Donc c'est l'angle entre deux faces qui se rencontrent.

Intervenant 21:56

C'est exactement ça. En mathématiques pure, on tracerait des droites perpendiculaires à ces deux faces et on mesurerait l'angle entre ces droites, pour être super précis.

Intervenant 12:06

Et vu qu'un tétraèdre, ça a six arêtes au total, ça veut dire qu'on a six angles dièdres, c'est bien ça ?

Intervenant 22:13

Voilà, vous avez tout compris. Six arêtes, donc six angles dièdres. Et le truc fou, c'est que le comportement de ces six angles à eux seuls, ils dictent absolument toutes les propriétés géométriques du volume.

Intervenant 12:25

D'accord, donc c'est vraiment la boussole de notre histoire. Mais du coup, pourquoi ces angles ont posé un problème historique aussi massif ?

Intervenant 22:33

Eh bien, ça nous remène à un concept physique, un peu comme de la maçonnerie ou un jeu de construction. Le pavage de l'espace.

Intervenant 12:40

Ah oui, genre remplir une pièce avec des briques. On sait tous qu'avec des cubes parfaits, on peut paver l'espace à l'infini, sans laisser le moindre petit vide.

Intervenant 22:49

Exactement. Et la question logique, c'est de se demander, est-ce qu'on peut faire la même chose avec des tétraèdres ?

Intervenant 12:54

Et j'imagine que la réponse n'est pas si simple.

Intervenant 22:56

En fait, Aristote, qui est quand même un des plus grands esprits de l'Antiquité, il s'est posé la question. Et il a dit oui.

Intervenant 13:04

Attendez, Aristote a dit qu'on pouvait paver l'espace avec des tétraèdres ?

Intervenant 23:09

Ouais. Il a affirmé avec certitude qu'on pouvait le faire avec des tétraèdres réguliers, donc ceux dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux parfaits.

Intervenant 13:18

D'accord.

Intervenant 23:18

Et le pire, c'est que son autorité était tellement énorme que tout le monde l'a cru sur parole pendant des siècles.

Intervenant 13:23

Mais vous allez me dire qu'il s'est planté ? Un esprit brillant comme lui s'est trompé sur un bête jeu de construction géométrique ?

Intervenant 23:29

Totalement planté. Il a fallu attendre la Renaissance avec un mathématicien allemand, Johannes Müller, qu'on appelle souvent Regiomontanus, pour prouver qu'Aristote avait tort.

Intervenant 13:39

Ah ouais, quand même. Et comment il a prouvé ça ?

Intervenant 23:43

C'est là que nos fameux angles dièdres entrent en jeu. Pour qu'il n'y ait pas de vide autour d'une arête centrale quand on empile des formes, il faut que la somme des angles fasse pile 360°.

Intervenant 13:52

Logique, faire un tour complet quoi !

Intervenant 23:54

Sauf que l'angle dièdre d'un tétraèdre régulier y fait un peu plus de 70,5°. Ah !

Intervenant 14:02

Et 70,5 fois quelque chose, ça tombe pas sur 360, c'est ça ?

Intervenant 24:07

Exactement. Si on en met 5 autour d'une arête, on arrive à environ 352°.

Intervenant 14:12

Donc il reste un petit trou.

Intervenant 24:14

Un espace vide d'environ 8 degrés.

Intervenant 14:15

Voilà. Et c'est trop petit pour y glisser un sixième tétraèdre. Du coup, boum, le pavage régulier est physiquement impossible.

Intervenant 24:22

C'est fou que personne n'ait vérifié ça pendant des siècles.

Intervenant 14:25

Bon, alors on ne peut pas assembler des tétraèdres réguliers pour paver l'espace. Mais qu'est-ce qui se passe si on les découpe ?

Intervenant 24:31

Ah, ça, c'est la question qui a obsédé les mathématiciens modernes. En 1900, David Hilbert a lancé ses fameux défis pour le XXe siècle. Et le troisième problème de sa liste, c'était ça, la dissection.

Intervenant 14:43

La dissection de polyèdres, c'est

Intervenant 24:45

ça ? C'est ça. La question, c'était est-ce qu'on peut prendre un tétraèdre régulier, le découper en un nombre fini de petits morceaux et les réassembler pour en faire un cube parfait ?

Intervenant 14:57

Alors en 2D, je sais qu'on peut découper n'importe quel polygone pour en faire un carré. Mais en 3D, pour prouver que c'est impossible, ça doit être un vrai casse-tête.