Polygones entiers : jusqu’où multiplier les sommets ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Nous sommes ravis d'accueillir les auditeurs aujourd'hui pour une nouvelle aventure mathématique.

Intervenant 20:07

Salut ! Ouais, et quelle aventure, franchement.

Intervenant 10:09

Ah ça, oui. Aujourd'hui, on entreprend une sacrée plongée au cœur de nos sources et on se base plus particulièrement sur un article fascinant qui s'intitule « Des polygones en entier ».

Intervenant 20:19

Tout à fait. Et l'objectif de cette exploration, en fait, c'est de s'attaquer à une question géométrique qui a l'air presque innocente, quoi. C'est ça.

Intervenant 10:26

On dirait un petit exercice de géométrie qu'on ferait sur une feuille de papier quadrillée au collège.

Intervenant 20:30

Ouais, genre on prend une règle, un crayon et c'est parti.

Intervenant 10:34

Sauf que, et c'est là que c'est dingue, cette même question a rendu fous les savants depuis l'Antiquité. Elle a traversé les siècles et continue de générer des percées majeures dans la recherche mondiale, même jusqu'en 2024. C'est

Intervenant 20:45

complètement fou.

Intervenant 10:46

Donc, la mission du jour, le fameux problème, c'est ça. Est-ce qu'on peut dessiner une figure géométrique dont absolument tous les côtés, mais aussi toutes les diagonales, sont des nombres entiers ?

Intervenant 20:58

Zéro fraction, zéro décimale, rien. Que des entiers.

Intervenant 11:01

Exactement. Et franchement, ce grand écart conceptuel entre la question et la réponse, c'est ce qui rend le sujet si captivant.

Intervenant 21:10

Ah bah oui ! Parce que d'un côté, l'énoncé est basique, on veut juste des distances entières. Mais de l'autre, pour résoudre ça complètement, il a fallu construire des ponts théoriques hallucinants.

Intervenant 11:21

Des ponts entre plein de domaines, c'est

Intervenant 21:22

ça ? Ouais, entre la géométrie classique, l'analyse harmonique, la théorie des nombres et même la géométrie algébrique. Derrière cette simplicité, il y a une complexité arithmétique vraiment vertigineuse.

Intervenant 11:34

Ok, décortiquons tout ça, parce que pour bien capter l'ampleur du truc, il faut partir des bases. Si on prend un polygone à trois côtés, donc un triangle, là on a plein de solutions, non ?

Intervenant 21:45

Oui, la littérature regorge de solutions pour les triangles.

Intervenant 11:48

D'ailleurs, notre public s'en souvient peut-être, on a déjà exploré les fameux triangles pythagoriciens dans le numéro 212 de Tangente. Le classique triangle de côté 3, 4 et 5, il marche à la perfection.

Intervenant 21:59

C'est le cas d'école. Mais forcément, on a envie d'ajouter un sommet de plus.

Intervenant 12:04

Bah oui, on passe au quadrilatère. Et on pense direct à la figure la plus régulière et symétrique qui soit, le carré. Logique. Sauf que le carré, il ne veut pas coopérer. Il oppose une résistance farouche.

Intervenant 22:17

Ah, le carré, c'est l'illustration parfaite de la rigidité des maths. Prenons un carré dont le côté mesure exactement 1.

Intervenant 12:24

Ok, donc pour l'instant, on respecte la règle. 1, c'est un entier.

Intervenant 22:27

Voilà. Mais la règle exige que la diagonale soit aussi un entier. Or, quand on trace la diagonale, on coupe le carré en deux triangles rectangles.

Intervenant 12:36

Et bim ! Théorème de Pythagore !

Intervenant 22:38

Exactement ! Et Pythagore est implacable. La longueur de cette diagonale, c'est la racine carrée de 2.

Intervenant 12:44

Aïe. Et pour les auditeurs férus de maths, la racine carrée de 2, c'est le couperet.

Intervenant 22:49

C'est clair. C'est le nombre irrationnel par excellence. La légende dit même que sa découverte aurait bouleversé les disciples de Pythagore,

Intervenant 12:56

tu sais. Ça causait un vrai drame à l'époque. C'est pas un entier et on peut même pas l'écrire sous forme de fraction.

Intervenant 23:02

Absolument. Et cette irrationnalité, c'est une propriété tellement ancrée qu'on peut rien y faire.

Intervenant 13:07

Mais attends, l'intuition géométrique, elle nous dit parfois, on n'a qu'à agrandir la figure. Genre on zoome assez et on finira par tomber sur un entier.

Intervenant 23:16

Bah non, sauf que l'arithmétique, ça marche pas comme ça.

Intervenant 13:19

Ah ouais ?

Intervenant 23:20

Ouais, parce que le rapport entre la diagonale et le côté est irrationnel. Donc ce rapport restera irrationnel peu importe l'échelle.

Intervenant 13:28

Donc si je multiplie mon carré par un milliard,

Intervenant 23:31

Ton côté vaudra un milliard, c'est un entier, super, mais ta diagonale restera accrochée à ce facteur de racine de 2.

Intervenant 13:38

Ah, ça ne passe

Intervenant 23:38

pas. Non. Tu pourrais faire un carré de la taille de la galaxie, ça ne résoudrait rien. Le carré parfait est définitivement éliminé.

Intervenant 13:46

Bon, donc on doit abandonner la symétrie parfaite du carré, il faut un truc un peu plus souple.

Intervenant 23:52

Et c'est le rectangle qui vient à la rescousse.

Intervenant 13:54

Ouf !

Intervenant 23:54

Eh oui, là on retrouve nos chairs entiers. Si on prend un rectangle avec une base de 3 et une hauteur de 4 ?

Intervenant 14:00

Moins.

Intervenant 24:00

La diagonale fait 5 ?

Intervenant 14:02

Comme notre triangle pythagoricien du début.

Intervenant 24:04

Tout à fait. Là, on a un quadrilatère rationnel. Côté et diagonale sont entiers.

Intervenant 14:10

Super. Mais en lisant nos sources, on voit que l'histoire ne s'arrête pas là. Trouver un rectangle, c'est bien. Mais les mathématiciens, eux, ils ont voulu trouver tous les quadrilatères possibles avec cette propriété.

Intervenant 24:23

Et c'est là que l'histoire s'emballe. On parle d'une quête sur plusieurs siècles. C'est fou. En 1848, le mathématicien allemand Ernst Kummer a fait un vrai tour de force. Il a réussi à paramétrer tous ces quadrilatères rationnels.

Intervenant 14:37

Donc il a trouvé l'équation générale pour les fabriquer.

Intervenant 24:39

C'est ça.