Proportionnalité : pourquoi la règle de trois résiste

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bonjour à toutes et à tous. Je suis vraiment ravie de vous retrouver pour cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques. Et aujourd'hui, on va commencer par se projeter une petite seconde sur un plateau de télévision en plein direct.

Intervenant 20:15

Ah oui, le genre de situation où l'attention est palpable quoi. Les lumières, les caméras.

Intervenant 10:21

Voilà, exactement. Les caméras tournent. Et face aux journalistes, on a la plus haute autorité éducative du pays, un ministre de l'Éducation nationale.

Intervenant 20:30

Rien que ça.

Intervenant 10:31

Et là, le journaliste le regarde avec un petit sourire et lui pose une question qui semble tout droit sortie d'un manuel d'école primaire en fait.

Intervenant 20:39

Une question redoutable souvent.

Intervenant 10:40

Oui, la question c'est, écoutez bien, si quatre stylos coûtent très exactement 2,42€, combien coûtent 14 stylos ?

Intervenant 20:49

Ouf, c'est le genre d'instant où le silence devient assourdissant sur un plateau. Surtout pour quelqu'un censé incarner l'excellence académique, quoi.

Intervenant 10:59

Et du silence, il en a eu. C'est le trou noir total. Le ministre, piégé en direct devant des millions de téléspectateurs, a tout simplement été incapable de fournir la réponse.

Intervenant 21:10

C'est terrible.

Intervenant 11:11

C'est un moment de télé absolument fascinant. Mais au-delà de l'anecdote un peu cruelle, ça pose une vraie question. Parce que, soyons honnêtes, si on nous pose la question à froid, là maintenant, en deux têtes...

Intervenant 21:23

Bah c'est pas si évident que ça en une fraction de seconde.

Intervenant 11:26

Non, voilà comment on est censé résoudre ce problème des stylos de manière logique.

Intervenant 21:31

Alors, la méthode pour s'en sortir, celle qui a finalement été soufflée sur le plateau pour sauver la mise, elle s'appuie sur une technique ancestrale, ce qu'on appelle la règle de trois.

Intervenant 11:41

D'accord, la fameuse règle de trois.

Intervenant 21:45

C'est ça. Et l'idée fondatrice derrière, c'est le retour à l'unité. Face à un lot, le cerveau doit d'abord chercher à isoler l'individu. Donc, on prend ces fameux dos 42 euros et on les divise par les quatre stylos de départ.

Intervenant 11:58

Ce qui nous amène à chercher le prix d'un seul et unique stylo, en fait. Si on pose la division, ça fait 0,65 euros pour un stylo. D'accord, l'étape de l'unité est franchie.

Intervenant 22:10

Voilà, on a isolé notre stylo. Et la suite logique, une fois qu'on a ce prix unitaire en main, le reste n'est qu'une simple projection. Le but, c'est d'acheter 14 stylos, non ?

Intervenant 12:20

Oui, c'est ça, 14.

Intervenant 22:22

Donc on prend ce fameux 0,65 et on le multiplie tout bêtement par 14.

Intervenant 12:27

Et ça nous donne un total de 8,47 euros. 8 euros et 47 centimes.

Intervenant 22:32

Exactement. Et ça, c'est l'application la plus classique, la plus pure de ce qu'on nomme les grandeurs proportionnelles.

Intervenant 12:39

Donc le mystère est levé pour le plateau télé. Mais cette anecdote, c'est vraiment qu'une porte d'entrée pour notre exploration d'aujourd'hui.

Intervenant 22:46

Oui, parce que le vrai sujet est bien plus vaste.

Intervenant 12:49

C'est ça, l'objectif de notre plongée dans les sources aujourd'hui, c'est de comprendre pourquoi ce concept, ce concept qui a l'air si évident quand on l'explique pas à pas.

Intervenant 22:57

La fameuse proportionnalité.

Intervenant 12:59

Voilà, la proportionnalité. Pourquoi ça se révèle être en réalité un casse-tête cognitif monumental ? C'est un piège redoutable qui fait trébucher les enfants en classe, qui laisse les adultes perplexes au supermarché et qui paralyse des ministres en direct.

Intervenant 23:15

C'est vrai que ce qui interpelle vraiment dans les documents qu'on a épluchés, c'est ce contraste, le contraste entre la banalité de l'outil et l'immense confusion mentale qu'il génère au quotidien. C'est fou, oui. Et pour comprendre cette dissonance, il faut d'abord regarder comment les mathématiques elles-mêmes ont lutté avec ce concept à travers les âges.

Intervenant 13:34

Et c'est justement ce qui m'a fascinée dans nos notes, Oline. On a l'impression que la règle de trois, elle a toujours existé sous cette forme-là, quoi. Mais d'où ça vient vraiment mathématiquement ? Est-ce qu'un savant de l'Antiquité, il calculait le prix de ses amphores de la même manière que nous ?

Intervenant 23:48

Absolument pas. L'évolution de la pensée sur ce point, elle est même vertigineuse. Pour bien mesurer le chemin parcouru, regardons un peu la vision moderne. Prenons un ouvrage de référence, le manuel scolaire de Monge et Guinchant de 1959. D'accord. Leur définition, elle est d'une efficacité mécanique redoutable. Ils disent que deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on multiplie la valeur de l'une par deux, trois ou quatre, la valeur correspondante de l'autre est multipliée par ce même nombre.

Intervenant 14:17

Ah oui, c'est la logique du miroir en fait. Je double la quantité de stylos, je double le prix. C'est hyper symétrique.

Intervenant 24:25

L'idée est là, oui. Mais si l'on fait un bond en arrière de plusieurs millénaires jusqu'à la Grèce antique ?

Intervenant 14:31

Chez Euclide, c'est ça ?

Intervenant 24:32

Exactement. Le géomètre Euclide. Lui, il abordait la question avec une philosophie radicalement différente. Pour Euclide, il y avait une règle d'or, très stricte. Les rapports devaient toujours, systématiquement, se faire entre des grandeurs de même nature.

Intervenant 14:46

De même nature, c'est-à-dire ?

Intervenant 24:48

Il comparait une longueur avec une autre longueur, une surface avec une surface. Et de ce fait, le résultat de sa comparaison était un nombre pur, totalement dépourvu d'unités.

Intervenant 14:59

Attendez, là je ne saisis pas bien. Comment on peut faire des mathématiques du quotidien sans croiser les unités ? Si je reprends notre ministre, Euclide aurait refusé de diviser des euros par des stylos.

Intervenant 25:10

Mais il aurait trouvé ça géométriquement absurde. Ah bon ? Bien sûr ! Diviser une monnaie par un objet physique pour obtenir un concept hybride, du genre des euros par stylos. Ça n'avait aucun sens dans son paradigme.

Intervenant 15:24

D'accord.

Intervenant 25:24

Pour lui, la bonne façon de penser, c'était de dire quatorze stylos, c'est trois fois et demi plus grand que quatre stylos.

Intervenant 15:29

Ok, on compare les objets entre eux.

Intervenant 25:31

Voilà. Le prix final doit être trois fois et demi plus grand que le prix initial. Voyez ? Le rapport trois et demi, c'est un nombre sans dimension. C'est juste une pure comparaison géométrique.

Intervenant 15:44

Ah je vois, il restait vraiment dans son couloir les stylos avec les stylos et l'argent avec l'argent. Mais alors à quel moment l'humanité a décidé de mélanger tout ça pour créer ces grandeurs hybrides ?

Intervenant 25:58

La grande rupture intellectuelle s'est produite beaucoup plus tard, au XVIIe siècle, avec l'émergence d'un outil d'une puissance inouïe, la fonction linéaire. La fonction

Intervenant 16:06

linéaire, oui.

Intervenant 26:08

C'est le moment précis où on cesse de simplement comparer deux états statiques pour inventer une sorte de machine mathématique capable de transformer une grandeur en une autre.

Intervenant 16:16

C'est brillant en fait. Si j'essaye de visualiser la chose pour l'autre audience, c'est comme si on était passé d'une simple observation de deux photographies sur une table. Oui,

Intervenant 26:26

ça ce serait Euclide.

Intervenant 16:28

Voilà, la méthode d'Euclide. On regarde la petite photo, on regarde la grande et on constate que l'une est le double de l'autre. Et on est passé de ça à l'invention pure et simple de la molette de zoom d'un appareil photo.

Intervenant 26:39

J'aime beaucoup cette image.

Intervenant 16:40

La fonction, c'est le mécanisme du zoom. On lui donne une donnée d'entrée, elle mouline et paf, elle recrache une donnée de sortie.

Intervenant 26:47

Le parallèle est hyper pertinent.