Wittgenstein : inventons-nous les vérités mathématiques ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on va faire une petite expérience mentale. Imaginons un instant qu'on prenne une chaise.

Intervenant 20:10

Une chaise, tout ce qu'il y a de plus banal, j'imagine.

Intervenant 10:12

Ouais, exactement, une simple chaise de salle à manger, tu vois. Et on commence à l'envelopper dans des couches et des couches de papier.

Intervenant 20:20

D'accord.

Intervenant 10:20

On rajoute du papier bulle, du gros scotch, encore du papier, on n'arrête pas. Et on fait ça jusqu'à ce que la chaise disparaisse totalement et qu'on obtienne au final une sphère parfaite.

Intervenant 20:32

C'est complètement absurde comme idée.

Intervenant 10:34

Mais carrément, c'est absurde. La chaise, elle était très bien comme elle est, non ?

Intervenant 20:38

C'est clair.

Intervenant 10:39

Eh bien, figure-toi que selon le grand philosophe Ludwig Wittgenstein, cette absurdité absolue, c'est exactement ce que font les mathématiciens lorsqu'ils essayent de justifier leur propre discipline.

Intervenant 20:52

C'est une image vraiment frappante. Et en fait, c'est le cœur du séisme que Wittgenstein a provoqué.

Intervenant 10:58

Un vrai séisme, ouais.

Intervenant 21:00

Parce qu'on a tellement l'habitude d'aborder les mathématiques comme une discipline froide, distante, presque divine, on s'imagine qu'en traçant un triangle ou en résolvant une équation, on joue carrément les archéologues de l'univers.

Intervenant 11:12

Ouais, on se prend pour des explorateurs cosmiques.

Intervenant 21:15

Exactement. On pense découvrir des vérités pures, des lois fondamentales qui flottaient dans l'espace bien avant l'aube de l'humanité.

Intervenant 11:23

Ça, c'est vraiment l'image d'Epinal par excellence. On voit les maths comme le code source secret de l'univers que notre cerveau de primate parvient miraculeusement à déchiffrer.

Intervenant 21:31

C'est tout à fait ça.

Intervenant 11:33

Mais aujourd'hui, on va complètement dynamiter cette vision. La mission de notre exploration, elle est radicale. On va se demander si les mathématiques sont réellement une découverte des lois de la nature ou s'il s'agit juste d'une invention.

Intervenant 21:47

Une création de toutes pièces.

Intervenant 11:49

Voilà. Une création purement et strictement humaine. Exactement au même titre que la grammaire d'une langue ou les règles d'un sport de ballon. Ok ? Décortiquons tout ça.

Intervenant 21:58

Allons-y.

Intervenant 11:59

D'où vient cette idée complètement folle que les mathématiques n'ont pas besoin de fondations universelles ?

Intervenant 22:04

Alors, pour comprendre le choc que ça représente, il faut vraiment regarder le contexte de l'époque. Wittgenstein, il s'en prend directement à un truc très précis, ce besoin obsessionnel qu'a la philosophie de vouloir trouver un socle à toute chose.

Intervenant 12:18

Un principe originel, quoi.

Intervenant 22:20

Ouais. Il compare d'ailleurs les philosophes à des enfants, des gamins qui gribouillent au hasard sur une feuille de papier, tu vois, puis qui l'attendent aux adultes en demandant avec de grands yeux « qu'est-ce que c'est ? ».

Intervenant 12:31

Ah, c'est génial ! Comme si le gribouillis devait forcément représenter quelque chose de profond.

Intervenant 22:36

Exactement. Pour lui, la philosophie, ça ne doit pas être une grande quête métaphysique, ce doit être une thérapie.

Intervenant 12:42

Une thérapie ?

Intervenant 22:42

Oui, une thérapie intellectuelle, conçue pour nous guérir de cette illusion tenace qu'il faut absolument fonder nos connaissances sur une réalité invisible.

Intervenant 12:50

Mais attends, là je dois m'insurger. Gentiment bien sûr.

Intervenant 22:53

Je t'en prie.

Intervenant 12:54

C'est bien joli de dire que chercher des fondements, c'est une maladie philosophique. Mais l'édifice scientifique entier repose sur la logique.

Intervenant 23:02

C'est ce qu'on nous apprend,

Intervenant 13:03

ouais. Bah oui. Si la logique formelle n'est pas le socle incontestable, la fondation absolue des mathématiques, qu'est-ce qui empêche un mathématicien de se lever un matin et de dire que 2 plus 2 font 5 ?

Intervenant 23:16

C'est la grande angoisse en effet.

Intervenant 13:18

Bah oui, si on retire les fondations, la maison s'écroule, non ?

Intervenant 23:22

Ce qui est fascinant ici, c'est précisément la radicalité de la réponse de Wittgenstein face à cette peur de l'effondrement. À son époque, de grands penseurs comme Gottlob Frege ou Bertrand Russell portaient un mouvement qu'on appelait le logicisme.

Intervenant 13:36

Le fameux logicisme,

Intervenant 23:37

ok. Leur projet titanesque, c'était de prouver que toutes les mathématiques pouvaient être réduites à de la pure logique. Ils ont écrit des centaines de pages, des volumes entiers.

Intervenant 13:47

Genre de gros pavés illisibles ? Totalement !

Intervenant 23:50

Et tout ça juste pour prouver que 1 plus 1 égale 2 à partir d'axiomes logiques purs. Et c'est là que Wittgenstein intervient avec la métaphore de la chaise emballée dans du papier.

Intervenant 14:00

Ah, on y revient. Donc la chaise, si je suis bien, ce sont les mathématiques de tous les jours, celles qui fonctionnent super bien pour construire des ponts ou, je ne sais pas, faire du commerce.

Intervenant 24:12

C'est ça.

Intervenant 14:12

Et le papier qu'on enroule autour pour en faire une sphère parfaite, c'est cette fameuse couche de justification logique de Russell et compagnie.

Intervenant 24:19

Exactement. Et Wittgenstein qualifie ce travail de, et accroche-toi, « feignantise en mathématiques ».

Intervenant 14:26

De la fainéantise. Non, mais c'est hyper dur comme terme.

Intervenant 24:29

C'est très dur. Mais ce qu'il veut dire par là, c'est que doubler chaque démonstration mathématique par une démonstration logique, en fait, ça n'apporte absolument aucune solidité supplémentaire à l'édifice.

Intervenant 14:40

Le meuble tenait très bien debout, sans le papy bulle.

Intervenant 24:43

Voilà. Une démonstration mathématique, elle tient par elle-même. Elle tient par ses propres règles. Vouloir l'ancrer dans une super logique métaphysique, c'est complètement redondant. Et illusoire. D'accord. Mais si on retire cette super logique, sur quoi elle repose les maths ? Il faut bien qu'elle s'appuie sur un truc tangible.

Intervenant 15:03

C'est là le grand renversement. Elle ne repose sur rien d'extérieur. Wittgenstein utilise une autre image magnifique pour ça.

Intervenant 25:09

Je suis preneuse.

Intervenant 15:10

Il dit que vouloir donner un fondement philosophique aux mathématiques, c'est comme croire que sur une toile de maître, le rocher peint supporte le château peint.

Intervenant 25:18

C'est là que ça devient vraiment intéressant. Le rocher peint supporte le château peint. C'est fort,

Intervenant 15:23

non ? Ah ouais, je vois très bien. On a l'illusion de la gravité. On a l'impression visuelle que le château a besoin du rocher pour ne pas tomber dans le vide.

Intervenant 25:31

C'est l'effet d'optique.

Intervenant 15:32

Mais en réalité, les deux ne sont que des couches de peinture sur une seule et même toile toute plate. C'est

Intervenant 25:37

exactement l'idée. Les mathématiques fonctionnent comme un jeu de langage. Elles ont leur propre syntaxe, leur propre grammaire interne.

Intervenant 15:43

Une grammaire mathématique donc ?

Intervenant 25:45

Ouais. Quand on fait des maths, on invente des normes de calcul. On pose des règles de transformation sur le papier.

Intervenant 15:51

Un peu comme les règles de la conjugaison en grammaire R ?

Intervenant 25:54

Tout à fait. Et ces procédures suffisent amplement à parler de vérité ou de fausseté au sein du système. On n'a jamais besoin de faire appel à un monde extérieur ou à une logique supérieure.

Intervenant 16:03

Mais attention, suit cette logique de la syntaxe. Comment est-ce qu'on explique les concepts qui semblent complètement abstraits ? Des trucs qui défient même l'entendement humain.

Intervenant 26:13

Tu penses à quoi en particulier ?

Intervenant 16:15

Bah je pense à un concept très précis, les nombres non dénombrables. Ah

Intervenant 26:20

oui, le gros morceau.

Intervenant 16:22

Si les mathématiques ne sont qu'un jeu d'écriture humain, comme tu dis, comment on peut manipuler des infinis qui sont carrément trop vastes pour être comptés ? C'est pas impossible.

Intervenant 26:32

C'est un excellent test pour la philosophie du Wittgenstein-thème. Prenons le temps de bien définir ce qu'est un ensemble non dénombrable pour que tout le monde suive.

Intervenant 16:40

Oui, faisons ça bien.

Intervenant 26:41

En mathématiques, la base du comptage, ça repose sur ce qu'on appelle une bijection.