La mathématicienne Viazovska : des boulets aux dimensions 8 et 24

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et c'est un réel plaisir d'accueillir notre auditoire aujourd'hui pour une nouvelle plongée au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:08

Bonjour, oui et je dois dire que la discussion d'aujourd'hui s'annonce particulièrement vertigineuse.

Intervenant 10:14

Absolument. Alors, si on observe un peu attentivement un simple étal de marché, n'en compte qu'à l'épicier, au monde sait intuitivement comment ranger une caisse d'orange, non ?

Intervenant 20:24

Tout à fait. L'idée, c'est de gagner un maximum de place.

Intervenant 10:27

Voilà. Et cet agencement en quinconce, il saute aux yeux. C'est l'évidence même.

Intervenant 20:32

C'est l'évidence, oui, mais c'est là le piège. Parce que prouver mathématiquement que cet épicier a raison, ça a littéralement rendu fous les plus grands génies pendant presque 400 ans.

Intervenant 10:43

C'est incroyable quand on y pense. Et donc, l'exploration d'aujourd'hui va nous emmener d'une simple pile de boulets de canon à la Renaissance jusqu'aux confins complètement fous des dimensions 8 et 24.

Intervenant 20:56

Exactement. Et notre mission dans cette exploration, c'est vraiment de comprendre pourquoi un geste d'une banalité absolue a pu déclencher un tel cauchemar analytique.

Intervenant 11:06

Un vrai casse-tête.

Intervenant 21:07

Mais totalement. On va voir comment la géométrie de notre monde physique s'est heurtée aux limites de notre cerveau, au point d'obliger les chercheurs à appeler des supercalculateurs à la rescousse.

Intervenant 11:17

Et on va surtout aborder comment des structures d'une symétrie miraculeuse ont résolu tout ça, grâce à des outils contemporains d'une puissance inouïe, dès qu'on a osé s'aventurer dans des dimensions supérieures.

Intervenant 21:28

C'est exactement le programme.

Intervenant 11:30

Alors, décortiquons tout ça en commençant par les bases, par ce qu'on peut visualiser sans effort.

Intervenant 21:36

Oui, restons sur Terre pour l'instant.

Intervenant 11:38

C'est ça. Avant de parler de volume avec des oranges, posons le problème à plat, en dimension 2. Imaginons des pièces de monnaie qu'on essaierait de serrer au maximum sur une table.

Intervenant 21:48

Eh bien, sur une surface plane, la configuration optimale s'impose assez vite. C'est le réseau hexagonal.

Intervenant 11:53

Comme les abeilles en fait.

Intervenant 21:55

C'est exactement le motif des alvéoles d'une ruche, oui. Chaque cercle, ou chaque pièce de monnaie, est entouré par très exactement six autres cercles qui le touchent.

Intervenant 12:02

Ah oui, on le visualise très bien.

Intervenant 22:04

Et si on relie les centres, on obtient un pavage de petits hexagones. Alors, l'humanité pressent cette efficacité depuis l'Antiquité, mais, et c'est là que les mathématiques sont exigeantes, il faut une preuve irréfutable. C'est un euphémisme. Il a fallu attendre les années 1940 pour que le mathématicien hongrois Laszlo Feijestot apporte cette démonstration complète.

Intervenant 12:23

Attendez les années 1940, il a vraiment fallu des millénaires pour prouver formellement que le nid d'abeilles est la meilleure façon de ranger des ronds sur une feuille.

Intervenant 22:31

Oui, oui, ça paraît fou.

Intervenant 12:32

Ça donne déjà un indice énorme sur la difficulté qui nous attend en passant à la 3D.

Intervenant 22:36

C'est toute la différence entre, disons, une évidence visuelle et une démonstration qui exclut mathématiquement la moindre exception, même la plus tordue.

Intervenant 12:44

Je vois. Et si la dimension 2 a pris du temps, la dimension 3 a ouvert un véritable gouffre. En fait, l'histoire s'accélère au début du XVIIe siècle.

Intervenant 22:53

Ah, avec Kepler. En 1611, l'astronome Johannes Kepler publie un traité. Les traînes où la neige s'exangulaire. Il observe les militaires empiler leurs boulets de canon et il énonce sa fameuse conjecture.

Intervenant 13:07

Et Kepler compare deux méthodes, c'est ça basique ?

Intervenant 23:09

C'est ça.

Intervenant 13:10

La première, ça consiste à faire une base carrée. C'est un peu comme si on rangeait des ballons de foot dans des cartons carrés. Chaque ballon touche quatre voisins, plus un en dessous et un au-dessus.

Intervenant 23:21

Exactement. Et visuellement, si on compressait cette structure avec une presse géante, les ballons deviendraient des cubes.

Intervenant 13:27

Et on devine bien qu'empiler des sphères comme des cubes, ça laisse d'immenses poches d'air dans les coins. C'est clairement pas optimal.

Intervenant 23:34

Non, en effet. L'alternative que propose Kepler, c'est le motif triangulaire ou hexagonal.

Intervenant 13:40

Le fameux quinconce de notre épicier.

Intervenant 23:42

Précisément. Au lieu d'aligner la deuxième couche exactement au-dessus de la première, on pose les boulets dans les creux formés par ceux d'en-dessous.

Intervenant 13:50

Donc, si je compte bien, chaque sphère est bloquée par six voisines sur sa propre couche, trois en-dessous et trois au-dessus.

Intervenant 23:57

Ce qui nous fait 12 points de contact. Et Kepler remarque que si on écrase cette structure, on n'obtient pas des cubes, mais des dodecaèdres rhombiques.

Intervenant 14:05

Des figures à 12 phases, donc.

Intervenant 24:07

Voilà. En géométrie, c'est la structure cubique à face centrée. C'est la configuration la plus dense possible dans notre monde physique.

Intervenant 14:14

Et d'ailleurs, il y a un détail super fascinant dans nos sources à ce sujet, une vraie ironie de l'histoire.

Intervenant 24:19

Ah oui, concernant Thomas Harriot.

Intervenant 14:21

Oui, vérité. 20 ans avant Kepler, en 1591, le mathématicien britannique Thomas Harriot avait déjà théorisé ça à la demande de Sir Walter Raleigh.

Intervenant 24:30

Pour optimiser l'espace dans les cales des navires de guerre.