18 août 2022 · 25 min
Dobble : du symbole commun aux 57 cartes possibles
Dans ce podcast, suivez la règle du symbole commun, sa traduction en points et droites, puis l’écart entre 57 cartes possibles et les 55 du jeu classique.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui pour une toute nouvelle exploration mathématique.
Intervenant 2
Bonjour à tous. Et oui, une exploration qui va d'ailleurs nous emmener assez loin aujourd'hui.
Intervenant 1
Carrément. Alors, pour commencer, fermons les yeux un instant. Enfin, ceux qui nous écoutent, vous pouvez les garder ouverts si vous conduisez, bien sûr. Mais imaginez la scène. C'est l'heure de l'apéro ou du goûter.
Intervenant 2
L'ambiance est détendue.
Intervenant 1
Voilà, exactement. L'ambiance est détendue et quelqu'un pose sur la table une petite boîte métallique ronde, souvent jaune et violette.
Intervenant 2
Je vois très bien de quoi on parle.
Intervenant 1
À l'intérieur, on trouve des dizaines de cartes rondes, couvertes de plein de petits dessins hétéroclites. Un clown, un igloo, un morceau de fromage, un arbre.
Intervenant 2
Et une goutte d'eau.
Intervenant 1
C'est ça. On retourne deux cartes au centre de la table et là, immédiatement, on écarquille les yeux. On cherche frénétiquement le symbole en commun.
Intervenant 2
Le premier qui le trouve tape sur la carte.
Intervenant 1
Il tape en criant « pomme ». On rit, on s'énerve un peu pour la manche suivante. Bref, on joue au Dobble. L'expérience, elle est immédiate, presque enfantine.
Intervenant 2
Presque enfantine, oui. En apparence ?
Intervenant 1
En apparence, parce que la réalité, c'est que derrière ces petits dessins bariolés, derrière ces parties un peu chaotiques, se cache une structure mathématique d'une rare élégance.
Intervenant 2
Une très très grande élégance, oui.
Intervenant 1
C'est un truc de fou. On va parler ici de géométrie projective, d'arithmétique modulaire et même de mystères qui tiennent encore la communauté scientifique en échec aujourd'hui.
Intervenant 2
C'est tout à fait ça. Sous des deurs de pur divertissement ludique, ce petit objet du quotidien, il repose en fait sur une mécanique algébrique et géométrique extrêmement rigoureuse.
Intervenant 1
Et c'est exactement notre mission d'aujourd'hui, décortiquer tout ça.
Intervenant 2
Voilà, l'objectif de notre exploration, c'est vraiment de rendre visible cette structure invisible. Nous allons ouvrir le capot de ce jeu pour répondre à des questions qui sont au final fondamentales. Du
Intervenant 1
genre, comment on construit ces cartes sans se tromper ?
Intervenant 2
C'est ça. Comment on les construit de manière infaillible ? Est-ce qu'on peut décider arbitrairement du nombre de symboles à incrimer ? Et surtout, par quel tour de force conceptuel on peut garantir mathématiquement qu'il y aura toujours une et une seule correspondance exacte ?
Intervenant 1
Entre deux cartes quelconques, piochées complètement au hasard.
Intervenant 2
C'est ça qui est dingue.
Intervenant 1
Exactement.
Intervenant 2
C'est la promesse du jour.
Intervenant 1
Alors, décortiquons ça. Si on ouvre virtuellement la boîte classique que tout le monde connaît, on fait face à un ensemble de règles hyper strictes. Déjà, on a 55 cartes au
Intervenant 2
total. 55, oui.
Intervenant 1
Sur chaque carte de ce paquet, on trouve très exactement huit symboles différents. Et la règle d'or, le vrai moteur du jeu, c'est que si on prend n'importe quelle paire de cartes, il y a toujours un et un seul symbole en commun.
Intervenant 2
Pas zéro et pas deux.
Intervenant 1
Voilà. Si on avait zéro, ça bloquerait la partie. Et si on avait deux, ça créerait des égalités insolubles.
Intervenant 2
Du coup, pour analyser cette prouesse, il faut d'abord poser un cadre d'analyse très précis. On va définir les variables en jeu, un peu comme le font les chercheurs qui étudient la combinatoire de ces structures.
Intervenant 1
Ok, je sors mon carnet.
Intervenant 2
Allez-y. Définissons notre vocabulaire de base. On a d'abord une variable qu'on va appeler Q.
Intervenant 1
La lettre Q, d'accord.
Intervenant 2
Ce qui représente le nombre de symboles imprimés sur une seule carte.
Intervenant 1
Donc dans la boîte classique qu'on achète en magasin, Q vaut 8.
Intervenant 2
C'est ça. Ensuite on a la variable C, qui est le nombre total de cartes. Donc ici 55. Ok, Q
Intervenant 1
c'est 8, C c'est 55.
Intervenant 2
On a aussi la variable S comme symbole. C'est le nombre total de symboles différents qui existent dans tout le jeu. Et là ça s'élève à 57.
Intervenant 1
D'accord, donc il y a 57 petits dessins différents en tout. L'igloo, la pomme, etc.
Intervenant 2
Absolument. Et enfin, on a une variable fondamentale, un nombre entier qu'on va appeler n. Et ce n, il est tout simplement égal à q-1.
Intervenant 1
Attendez, si q vaut 8, ça veut dire que n vaut 7.
Intervenant 2
Exactement. Notre entier, n vaut 7. Et cet entier, ça va être vraiment le pilier porteur de toute la construction qui va suivre.
Intervenant 1
Ok, alors avant même de plonger dans les équations avec ce set, j'ai une question un peu bête. Enfin, une question de néophyte.
Intervenant 2
Allez-y.
Intervenant 1
Concrètement, si on veut créer un jeu comme ça aujourd'hui, avec la puissance des ordinateurs qu'on a, pourquoi on s'embête avec de la théorie mathématique hyper complexe ?
Intervenant 2
Vous voulez dire faire appel à la force brute ?
Intervenant 1
Bah oui. On pourrait pas juste écrire un petit script en Python par exemple, qui distribue des dessins au hasard ? L'algorithme, il ferait des millions de tests par seconde ?
Intervenant 2
Il placerait un arbre ici, un clown là ?
Intervenant 1
Voilà. Et il vérifierait par essais-erreurs jusqu'à ce que la règle du symbole unique soit respectée partout. Ça prendrait quoi ? Quelques minutes à un bon PC, non ?
Intervenant 2
Alors, c'est une intuition très naturelle, mais l'approche par essa et erreur, donc la force brute en informatique, elle s'effondre totalement face à un système aussi contraint.
Intervenant 1
Ah bon ? Pourquoi ?
Intervenant 2
Le problème réside dans ce qu'on appelle l'explosion combinatoire.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Si on place les symboles au hasard, la première carte, c'est facile. On met huit symboles au pif. La deuxième carte, elle doit avoir exactement un symbole en commun avec la première. Bon, c'est encore gérable. Oui,
Intervenant 1
l'ordinateur fait ça en une fraction de
Intervenant 2
seconde. Sauf qu'à la dixième carte, les contraintes s'entremêlent de paix sont tellement denses que chaque nouveau symbole qu'on place a de très fortes chances de créer une erreur avec une des neuf cartes précédentes.
Intervenant 1
Ah oui, je vois. Il va mettre un igloo pour correspondre à la carte 1, mais du coup, ça va créer un double avec la carte 4.
Intervenant 2
C'est exactement ça. L'ordinateur doit alors revenir en arrière, modifier un choix et recommencer. Explorer cet arbre des possibles avec 55 cartes et 57 symboles, ça prendrait un temps de calcul qui dépasse allègrement l'âge de l'univers.
Intervenant 1
L'âge de l'univers, carrément ? Rien que pour ça ?
Intervenant 2
Ah oui, les combinaisons sont astronomiques. Donc pour obtenir une distribution parfaite et surtout garantie, la combinatoire hasardeuse, c'est une impasse absolue. Il faut faire comment alors ? Il faut un changement total de paradigme. En fait, il faut modéliser le problème sous forme de géométrie.
Intervenant 1
De la géométrie ? Oui. Vous voulez dire qu'on arrête totalement de penser en termes de bouts de carton physiques et de dessins imprimés ?
Intervenant 2
C'est exactement le saut conceptuel qu'il faut faire, oui. Rappelons notre hypothèse de base du jeu. Deux cartes quelconques possèdent un unique symbole en commun.
Intervenant 1
Oui, c'est la règle d'or.
Intervenant 2
Eh bien, en mathématiques, cette formulation très précise, elle résonne de manière fulgurante avec un axiome central de la géométrie euclidienne classique. Par deux points passe une unique droite.
Intervenant 1
Oh, attendez ! Ah, je vois le basculement, c'est génial !
Intervenant 2
Vous avez saisi ?
Intervenant 1
Bah si on suit cette logique, on inverse complètement les objets du quotidien. La carte que je tiens dans ma main pour jouer, c'est plus du tout une surface. Mathématiquement, la carte, ça devient un simple point de coordonnées dans l'espace.
Intervenant 2
C'est ça.
Intervenant 1
Et du coup, les symboles qui sont dessinés dessus, genre la pomme ou le flocon de neige, ça devient des droites qui traversent ce point. C'est fascinant de se dire qu'un petit dessin de pomme, c'est en fait modélisé comme une ligne géométrique infinie.
Intervenant 2
C'est toute la puissance de l'abstraction. Construire le jeu, Ça revient donc à placer un ensemble fini de points et de droites, et de s'assurer qu'il respecte des conditions d'intersection draconiennes.
Intervenant 1
C'est brillant.
Intervenant 2
Pour bien comprendre, on va réduire un peu l'échelle si vous le voulez bien. Imaginons la création d'un mini-jeu de Dobble avec seulement 3 symboles par carte.
Intervenant 1
Ok, donc notre variable Q vaut
Intervenant 2
3. Ce qui signifie que notre entier déterminant N, qui est K-1, il vaut bon bien. Il vaut 2 ? Très bien.
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