Nombre d’or : l’équation banale aux surprises infinies

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis absolument ravie d'ouvrir cette nouvelle plongée au cœur de nos sources mathématiques. Aujourd'hui, on s'attaque à un article fascinant qui s'intitule sobrement « Des propriétés mathématiques remarquables ». Et notre mission, c'est de démystifier un concept absolu.

Intervenant 20:17

Salut Ève. Oui, un concept qui a fait couler beaucoup d'encre, c'est le moins qu'on puisse dire.

Intervenant 10:22

On parle du célébrissime nombre d’or. Il a dicté les proportions du Parthénon à Athènes. Il fascine les artistes, les architectes, les biologistes depuis des millénaires. Enfin bref, on l'appelle la divine proportion.

Intervenant 20:36

Tout à fait. Et c'est là que l'article devient génial, parce qu'il souligne un paradoxe énorme.

Intervenant 10:41

Oui, parce que quand on entend « divine proportion », on s'attend à un truc cosmique, indéchiffrable. Alors qu'à la base, ce mythe repose sur une petite équation polynomiale tellement banale qu'on l'étudie au lycée. C'est presque décevant au début, non ? Beaucoup de bruit pour rien ?

Intervenant 20:58

On pourrait croire, mais en fait cette simple équation, elle cache une série de poupées russes mathématiques qui vont littéralement retourner le cerveau de tous ceux qui s'y penchent. La véritable magie, elle ne réside pas dans la complexité de départ, mais dans les conséquences infinies d'une règle super simple.

Intervenant 11:14

Ok, alors avant de plonger dans cette infimie, il faut qu'on pose les bases. De quoi on parle et d'où vient ce fameux symbole qu'on voit partout ?

Intervenant 21:22

Alors le nombre d'or, il est noté avec la lettre grecque phi.

Intervenant 11:26

Le rond barré verticalement, c'est ça ?

Intervenant 21:27

Exactement. C'est un hommage très probable au sculpteur grec Phidias, qui vivait au 5e siècle avant notre ère.

Intervenant 11:35

Celui qui a fait le Parthénon ?

Intervenant 21:37

C'est ça. Parfois, on le note avec un Phi majuscule, ou même la lettre Tau, mais Phi, c'est vraiment la norme. Et sa définition élégante, en algèbre, c'est simplement la solution positive de l'équation x²-x-1 est égale à 0.

Intervenant 11:51

Juste ça ! x²-x-1 égale 0. C'est fou !

Intervenant 21:55

Et si on calcule cette solution ? On trouve la valeur exacte de Φ, qui est 1 plus la racine carrée de 5, le tout divisé par 2, ce qui donne environ 1,618 034.

Intervenant 12:06

Et le mot-clé ici, c'est « environ », parce que ce nombre, c'est un esprit libre. C'est ce qu'on appelle un nombre irrationnel.

Intervenant 22:13

Ouais, son écriture décimale est infinie et surtout, elle n'est pas périodique.

Intervenant 12:17

Du coup, j'aime bien l'analogie que fait le texte avec une fraction classique pour bien comprendre cette différence. Par exemple, si on prend la fraction 25 divisé par 28. Si on pose la division, on trouve d'abord 0,89 et puis boum, on tombe sur une boucle.

Intervenant 22:35

La fameuse série qui se répète.

Intervenant 12:36

Voilà, 2, 8, 5, 7, 1, 4, et ça tourne en rond à l'infini. 2, 8, 5, 7, 1, 4, encore et encore. Mais avec le nombre d’or, il n'y a jamais de boucle. C'est une aventure perpétuelle, après la virgule. Il refuse de se ranger dans un motif répétitif.

Intervenant 22:54

C'est le chaos total. Mais c'est justement ce chaos décimal qu'a poussé les mathématiciens à se demander si on ne pouvait pas l'écrire

Intervenant 13:01

autrement.

Intervenant 23:02

S'il existe une autre façon de l'écrire qui révélerait un motif caché. Et c'est là que l'équation de base se transforme en un vrai tour de magie.

Intervenant 13:10

Ok, je sens qu'on arrive au poupée russe. Comment on fait ?

Intervenant 23:13

On repart de notre équation de départ où x est remplacé par phi. Donc on a phi au carré moins phi moins 1 est égal à 0.

Intervenant 13:22

Jusque là, je suis.

Intervenant 23:23

L'astuce, c'est d'isoler le carré. On passe les autres termes de l'autre côté et on obtient phi au carré est égal à phi plus 1.

Intervenant 13:31

D'accord.

Intervenant 23:32

Et là, si on divise toute l'équation par phi, à gauche, on se retrouve avec juste phi. Et à droite, on a phi divisé par phi, ce qui fait 1, plus 1 sur phi.

Intervenant 13:42

Donc on arrive à la formule absurde. Phi est égal à 1 plus 1 sur phi.

Intervenant 23:47

C'est ça.

Intervenant 13:48

Waouh, mais attends. Ça veut dire que le nombre d'or est défini par le nombre d'or lui-même.

Intervenant 23:53

Exactement. Et comme on a un phi à droite, sous la barre de fraction, on peut le remplacer par sa propre définition.

Intervenant 14:00

Oh la vache. Donc ça fait comme deux miroirs placés face à face. Une mise en abîme.

Intervenant 24:05

C'est totalement ça. On remplace le phi du bas, ce qui donne un plus 1, divisé par, ouvrez les parenthèses, 1 plus 1 sur phi. Et on recommence.

Intervenant 14:15

Et ça crée une boucle infinie de fractions ?

Intervenant 24:18

Une cascade infinie de chiffres 1. Et ça s'écrit de manière très élégante avec ce qu'on appelle une fraction continue. On la note entre crochets.