Distances : quand la ligne droite n’est plus le plus court chemin

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va tenter de prouver que pour aller d'un point A à un point B, la ligne droite, c'est parfois la pire des options.

Intervenant 20:11

Salut !

Intervenant 10:12

Et ouais, je suis ravi d'être là pour détruire un peu nos certitudes géométriques.

Intervenant 20:16

C'est clair, parce que c'est une affirmation qui semble contredire tout ce qu'on apprend dès le plus jeune âge. On prend une règle, on trace un trait bien net sur une feuille de papier et on considère l'affaire classée.

Intervenant 10:26

Voilà, ça c'est ce qu'on appelle notre bonne vieille réalité euclidienne, celle de notre quotidien en fait.

Intervenant 20:32

Sauf que, et c'est là que ça devient fou, que se passerait-il si on décidait de briser cette règle ? Si cette fameuse ligne droite n'était qu'une simple convention, une option parmi, je ne sais pas, une infinité d'autres manières de percevoir l'espace ? Et bien c'est exactement le postulat de notre exploration du jour. On va s'appuyer sur un article publié dans Tangente qui est judicieusement intitulé « Des distances parfois étonnantes ».

Intervenant 10:54

Et étonnante, le mot est faible.

Intervenant 20:56

C'est sûr. La mission de cette immersion est très claire. Il s'agit vraiment de faire exploser la conception habituelle que quiconque écoute pourrait avoir de la géométrie. On va prendre le mot « distance », le vider complètement de son sens instinctif et le redéfinir mathématiquement.

Intervenant 11:11

Donc le but, c'est vraiment d'observer comment la réalité se tord, enfin se métamorphose sous nos yeux, juste en modifiant la façon dont on compte les pas entre deux points. C'est bien ça ?

Intervenant 21:21

Exactement. Mais bon, avant de plonger dans ces dimensions parallèles, il nous faut une boussole, un outil visuel pour que les esprits curieux qui nous suivent puissent mesurer l'impact de ces changements.

Intervenant 11:31

Ouais, pour pas qu'on se perde en route, quoi.

Intervenant 21:33

Voilà. Et l'article utilise un concept très précis pour ça, qui s'appelle la boule unité.

Intervenant 11:40

Ah oui, alors la boule unité, c'est vrai que le terme peut prêter à confusion. De quoi s'agit-il exactement sur un simple plan deux dimensions ? Parce que quand on dit boule, on imagine un truc en 3D, genre une boule de pétanque.

Intervenant 21:52

C'est vrai, c'est vrai que le mot boule fait tout de suite penser à la 3D. Mais en géométrie classique, sur un plan, il faut plutôt le voir comme une zone d'influence. La boule unité, c'est l'ensemble de tous les points de l'espace qui se situent à une distance inférieure ou égale à 1 par rapport à un point central donné.

Intervenant 12:09

Ok, donc si on visualise un point de départ, la boule unité représente un peu l'empreinte totale de tout ce qu'on peut attendre en dépensant très exactement 1 unité de déplacement.

Intervenant 22:20

Exactement ça. Pas un millimètre de plus. On pourrait dire que c'est notre budget maximum.

Intervenant 12:26

J'aime bien cette idée de budget. Sur une feuille de papier classique, dans notre monde euclidien normal, c'est enfantin à visualiser. On plante la pointe d'un compas sur notre point de départ, on écarte la mine d'une distance de 1 et on trace un cercle.

Intervenant 22:39

Tout à fait. Et la frontière du cercle, et tout ce qui se trouve à l'intérieur, c'est ça à notre boule unité. C'est un disque parfait.

Intervenant 12:47

C'est hyper rassurant, c'est parfaitement symétrique, on peut aller dans toutes les directions avec, avec la même facilité en fait.

Intervenant 22:55

Sauf que si on suit le raisonnement de l'article, cette forme si harmonieuse, elle ne va pas survivre très longtemps.

Intervenant 13:01

Que non. Elle ne va pas survivre du tout.

Intervenant 23:03

Pour comprendre l'étrangeté mathématique qui arrive, il faut commencer par imposer des contraintes au monde normal. On va commencer par interdire le vol d'oiseaux. C'est terminé. L'espace n'est plus libre du

Intervenant 13:17

tout. Décortiquons tout ça. On quitte la liberté de la géométrie classique pour entrer dans un univers de contraintes. Et l'article appelle ça, si je me souviens bien, la distance à base d'horizontale et de verticale.

Intervenant 23:29

Ouais, c'est ce que les mathématiciens nomment la 1-norme. En gros, on oublie complètement le théorème de Pythagore. C'est fini. La nouvelle distance entre un premier point et un second point, disons de coordonnées x et y, change radicalement.

Intervenant 13:43

Donc comment on la calcule concrètement ?

Intervenant 23:44

On calcule la différence absolue sur l'axe horizontal et on l'additionne à la différence absolue sur l'axe vertical. En clair, tout déplacement en diagonale est formellement interdit, on ne peut bouger que parallèlement aux axes.

Intervenant 13:58

Ah ouais, donc si l'on cherche à se représenter concrètement, c'est que c'est exactement comme se promener dans une ville américaine parfaitement quadrillée. Voilà, c'est

Intervenant 24:06

ça l'idée.

Intervenant 14:07

Impossible de traverser un bloc d'immeubles en plein milieu pour couper au plus court. Si on part du point d'origine, le fameux 0,0, et qu'on va atteindre la destination située aux coordonnées 2,3, on n'a pas le choix. On doit marcher deux rues vers la droite, puis trois avenues vers le haut.

Intervenant 24:23

Exactement. Et le trajet total, du coup, fera 5, 2, plus 3. C'est l'exemple parfait. Et c'est d'ailleurs pour cette raison que cette métrique est mondialement connue sous le nom de distance de Manhattan.

Intervenant 14:34

En référence au quadrillage des rues de New York, évidemment.

Intervenant 24:36

Évidemment. Et attention, c'est loin d'être une simple curiosité théorique pour amuser la galerie. Cette géométrie, elle est utilisée en permanence dans la vraie vie.

Intervenant 14:46

Ah ouais, ok. Genre dans quel domaine ?

Intervenant 24:49

Eh bien, quand on conçoit des circuits imprimés, pour les ordinateurs par exemple, les fils de cuivre ne peuvent souvent faire que des angles droits sur la carte-mère. Donc les algorithmes qui calculent la distance entre deux composants utilisent cette fameuse distance de Manhattan.

Intervenant 15:03

C'est fou de le dire que notre technologie repose là-dessus, mais ce qui me frappe vraiment avec ce quadrillage, c'est qu'il détruit complètement un autre mythe.

Intervenant 25:13

Lequel ?

Intervenant 15:13

Bah, si on veut aller du point 00 au point 23, on a dit qu'on pouvait faire deux pas à droite, puis trois en haut. Mais en fait, on pourrait aussi faire un pas en haut, deux à droite, puis deux en haut. Le trajet fera toujours cinq au final.

Intervenant 25:29

Ah oui, bien sûr ! Donc

Intervenant 15:29

il n'y a plus un seul chemin le plus

Intervenant 25:32

court. Non, il y en a une infinité. C'est ça qui est dingue. Tant qu'on ne fait jamais demi-tour, qu'on avance toujours globalement vers le nord et vers l'est, n'importe quelle combinaison de zigzags microscopiques aura exactement la même longueur mathématique que le chemin le plus simple. Le concept d'unicité du chemin le plus court s'évapore complètement.

Intervenant 15:55

C'est vertigineux. Alors, que devient notre fameuse boule unité dans ce monde quadrillé ? Parce que là, ça m'intrigue. Si on se place à un carrefour de cette ville et qu'on a le droit de marcher l'équivalent d'un seul bloc de distance au total, notre budget de 1, quelle forme dessine la frontière de ce qu'on peut atteindre ?

Intervenant 26:12

Eh bien, la rondeur euclidienne disparaît totalement, tu t'en doutes. Si on part du centre avec une unité d'énergie, on peut faire un pas entier vers le nord ou un vers le sud, l'est ou l'ouest.

Intervenant 16:24

Donc ça nous donne quatre pointes en haut, en bas, à gauche, à droite.

Intervenant 26:28

Voilà. Mais si on veut aller vers le nord-est, par exemple, on doit diviser notre pas. On va faire, disons, un demi-pas à droite et un demi-pas en haut. Ça fait toujours un budget de 1. Et quand on relie toutes les limites mathématiques de ce budget de 1 dans toutes les directions, on obtient un carré parfait.

Intervenant 16:45

Un carré flidant ? Mais genre posé à plat ?