Trois impossibilités, des courbes pour les contourner

Intervenant 10:00

Bienvenue à tous dans le podcast du magazine Tangente. On va commencer par un petit scénario. Imaginons un instant une épidémie foudroyante qui ravage une population entière pendant l'Antiquité.

Intervenant 20:13

La panique totale, le désespoir absolu.

Intervenant 10:16

Exactement. Et là, le seul et unique moyen de stopper cette hécatombe, selon un oracle divin, ça repose sur un simple problème de géométrie.

Intervenant 20:25

Un truc de fou. Le sort de milliers de vies qui dépendent d'un pauvre calcul.

Intervenant 10:29

Sauf que, et c'est là qu'elle piège, ce problème géométrique est mathématiquement impossible à résoudre avec les règles de l'époque. Donc face à un tel mur absolu, que fait l'esprit humain ?

Intervenant 20:42

Loin de s'avouer vaincu, il décide tout simplement de tricher avec les dieux. Enfin, il décide plutôt de réinventer les règles en fait.

Intervenant 10:48

Et c'est exactement le cœur de l'exploration fascinante qui nous attend aujourd'hui. On va plonger dans un document hyper captivant qui s'intitule « Des courbes pour dépasser le compas ».

Intervenant 20:59

C'est un super texte, ouais. On va vraiment voir comment les plus grands cerveaux mathématiques, une fois confrontés à l'impossible, sont devenus, en quelque sorte, les tout premiers hackers de l'histoire intellectuelle.

Intervenant 11:11

Carrément, c'est un voyage qui s'annonce hyper électrique. Mais pour bien saisir l'ampleur de ce piratage mathématique, il faut d'abord planter le décor. On est dans l'âge d'or de la géométrie euclidienne.

Intervenant 21:21

Ouais, la grande époque d'Euclide.

Intervenant 11:23

Voilà. Et à cette époque, la règle non graduée et le compas, c'est pas des simples outils dans une trousse d'écoliers. C'est vraiment des instruments suprêmes, vénérés.

Intervenant 21:32

C'est ça, et dicte la façon même de concevoir l'univers. La pureté d'une ligne droite infinie, la perfection absolue d'un cercle. Pour eux, c'était le langage de la vérité, quoi.

Intervenant 11:42

C'est magnifique dit comme ça. Et pour comprendre à quel point cette maîtrise était poussée à son paroxysme, notre source d'aujourd'hui nous livre un détail archéologique qui donne littéralement le vertige.

Intervenant 21:53

Ah oui, tu penses à l'exemple de la sépulture à char de Cuperly ?

Intervenant 11:55

Absolument. C'est dans la Marne et ça date du IVe siècle avant notre ère.

Intervenant 21:59

Ouais, des artisans ont façonné une phalaire de bronze. C'est une sorte de discorne mentale pour un bouclier, tu vois.

Intervenant 12:05

C'est ça.

Intervenant 22:06

Et en analysant cette pièce, les archéologues ont découvert qu'il y avait gravé pas moins de 193 cercles.

Intervenant 12:11

193 cercles. Ouais,

Intervenant 22:12

et tout ça en manipulant de manière hyper virtueuse entre 8 et 10 rayons différents. C'est dingue.

Intervenant 12:19

C'est de leur feuvrerie mathématique, c'est clair. Imaginons un peu le niveau de concentration, la dextérité qu'il faut pour enchevêtrer tous ces cercles harmonieusement sur un bouclier de bronze. Et ça, sans le moindre ordinateur.

Intervenant 22:32

Ah bah, ils savaient construire des triangles éculatéraux, les yeux fermés, tailler des carrés parfaits, dessiner des pentagones ou des hexagones sans trembler.

Intervenant 12:41

Le système de la règle et du compas semblait omnipotent. Et soudain, paf, le grain de sable.

Intervenant 22:47

Le mur inaffranchissable.

Intervenant 12:49

Exactement. La machine infaillible s'enraye devant une figure qui paraît pourtant inoffensive. L'heptagone régulier. La figure à sept côtés.

Intervenant 22:57

C'est vrai que le chiffre 7 a provoqué un véritable choc frontal. C'est la toute première fissure dans l'édifice d'Euclide.

Intervenant 13:03

Mais pourquoi le 7 en particulier ?

Intervenant 23:05

Quelle que soit la combinaison de cercles et de lignes que l'on tente, le 7 refuse de se plier à la règle non graduée et au compas. Il est asymétrique, rebelle.

Intervenant 13:15

Il fait bande à part, quoi.

Intervenant 23:16

Totalement. Et ce blocage géométrique, en fait, il soulève une question d'ordre presque philosophique. Que faire lorsque le cadre intellectuel qui nous rassure n'est plus suffisant pour décrire le monde ?

Intervenant 13:27

C'est une super question. Et cette frustration face à l'heptagone, faut bien dire que c'était qu'un apéritif.

Intervenant 23:33

Ouais, la suite est bien pire.

Intervenant 13:34

Exactement, ça marque le début de notre véritable quête d'aujourd'hui, car ça nous met sur la piste des trois problèmes légendaires de l'Antiquité. Des énigmes réputées impossibles, qui ont littéralement rendu fous les mathématiciens pendant des millénaires.

Intervenant 23:47

On peut le dire.

Intervenant 13:47

Du coup, plongeons sans attendre dans le premier de ces grands mystères. Quel est ce problème, en apparence super enfantin, qui a fait transpirer des générations de chercheurs ?

Intervenant 23:58

La trisection de l'angle.

Intervenant 14:01

Voilà.

Intervenant 24:01

L'objectif semble vraiment d'une banalité confondante. On prend un angle quelconque et on cherche à le diviser en trois parts rigoureusement identiques.

Intervenant 14:11

Ça a l'air simple dit comme ça.

Intervenant 24:12

Bah ouais. Mais la règle du jeu exige de ne le faire qu'en traçant des lignes droites au hasard et des arcs de cercle. Et le plus troublant dans cette histoire, c'est le temps qu'il a fallu pour admettre la défaite. Des milliers d'années d'acharnement.

Intervenant 14:26

Des millénaires.

Intervenant 24:27

Oui. Ce qui est fascinant ici, c'est qu'il aura fallu attendre qu'un mathématicien français du nom de Pierre-Laurent Wansel vienne briser le rêve très tardivement en 1837.

Intervenant 14:36

1837, c'est pratiquement hier à l'échelle de l'histoire, c'est fou !

Intervenant 24:40

Exactement ! Et Wenzel ne s'est pas contenté de dire que c'est galère ou qu'on n'y arrive pas. Il a carrément élaboré une démonstration irréfutable, un théorème qui prouve l'impossibilité stricte de la trisection avec la règle et le compas.

Intervenant 14:54

Ah ouais, le coup pré-final.

Intervenant 24:55

Voilà. Il a démontré que ces deux outils ne possèdent pas la structure algébrique adéquate pour résoudre les équations de degré 3 qui se cachent derrière cette fameuse division.

Intervenant 15:05

Ok, décortiquons tout ça. Pour ceux qui nous écoutent et qui n'ont pas de diplôme en algèbre, essayons de visualiser cette impossibilité avec une image du quotidien.

Intervenant 25:12

Bonne

Intervenant 15:13

idée. Imaginons qu'on doive partager un gâteau d'anniversaire parfaitement circulaire entre trois personnes.

Intervenant 25:17

D'accord.

Intervenant 15:17

Et ce, de manière absolument équitable. Mais attention, la contrainte complètement absurde est la suivante. On a le droit d'utiliser qu'un grand coup près, qui ne peut faire que des coupes parfaitement droites d'un bord à l'autre, et une simple assiette ronde pour nous guider.

Intervenant 25:32

Ah oui, c'est rudimentaire.

Intervenant 15:34

C'est ça. On pourra s'y reprendre à mille fois, frôler la perfection à l'œil nu, mais d'un point de vue purement théorique, avec ses seules contraintes physiques, obtenir le tiers exact, précis à l'atome près, c'est physiquement et mathématiquement impossible.

Intervenant 25:48

Cette image illustre super bien la frustration géométrique de l'époque. En fait, la règle et le compas sont des outils de degrés 1 et 2. Or, le problème exige un outil de degré 3.

Intervenant 15:58

Tout simplement.

Intervenant 25:59

C'est ça. Alors, comment le génie humain a-t-il réagi face à cet interdit-là ?

Intervenant 16:05

Ils n'ont pas lâché l'affaire.

Intervenant 26:06

Pas du tout. Dans un premier temps, ils sont passés par l'ingénierie physique. Le document évoque une invention assez étonnante, le compatri-secteur de Charles Lézan, conçu en 1875. Ah oui, la triche

Intervenant 16:17

mécanique.

Intervenant 26:19

Ouais. C'est une belle pièce de mécanique, constituée d'un jeu complexe de tiges articulées qui forment des losanges croisées. Lorsqu'on écarte les bras de cet instrument pour époser l'angle de départ, la structure même des losanges force mécaniquement un bras central à se positionner exactement au tiers de l'angle.

Intervenant 16:38

C'est super astucieux, honnêtement. C'est un bel objet en laiton qu'on imagine bien sur le bureau d'un ingénieur de la révolution industrielle.

Intervenant 26:46

Complètement.

Intervenant 16:46

Mais avouons-le, tout le monde n'a pas un compas articulé à géométrie variable au fond de sa poche.

Intervenant 26:51

C'est

Intervenant 16:51

sûr. Et puis surtout, d'un point de vue purement conceptuel, c'est une forme de bidouillage. On sort de la feuille de papier pour résoudre un problème théorique avec des écrous et des charnières.

Intervenant 27:02

Et c'est la grande limite de la méthode mécanique. Les mathématiciens, eux, ils cherchent la pureté de la ligne. La beauté du geste abstrait, quoi. Exactement. Puisque l'outil classique est insuffisant, la véritable réponse intellectuelle, ça consiste à concevoir une nouvelle trajectoire de l'esprit, une nouvelle courbe.

Intervenant 17:20

Et c'est là qu'on passe à la vitesse supérieure.

Intervenant 27:22

Ouais, c'est ici qu'intervient l'Écossais Colin McLaurin en 1742. Il s'inspire d'ailleurs fortement de travaux de géomètres grecs comme Hippias et Dynostrate, qui remettaient déjà en cause l'hégémonie du cercle pur.

Intervenant 17:34

Et McLaurin va créer quelque chose de nouveau.