Une boule mathématique peut-elle être carrée ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Salut Sam.

Intervenant 10:03

Et franchement, on a un programme incroyable aujourd'hui.

Intervenant 20:06

Ah oui, hyper chargé. Et on va commencer avec une question qui a l'air presque bête comme ça. Si on demande à un joueur de pétanque, là sur un terrain bien ensoleillé, de décrire ce qu'est une boule, la réponse va être d'une évidence totale.

Intervenant 10:22

Ouais, c'est rond, c'est en métal, c'est lourd.

Intervenant 20:24

C'est ça, ça roule sur le sable quoi. L'image mentale, elle est immédiate. Mais, et c'est là que ça devient fascinant, si on pose exactement la même question à un mathématicien, la réalité vacille complètement.

Intervenant 10:37

Oh que oui ! Pour un esprit purement géométrique, une boule, ça peut très bien ressembler à un carré avec des angles hyper tranchants, ou à un losange posé en équilibre sur sa pointe, même une étoile bosselée en fait !

Intervenant 20:48

Exactement. Et le but de notre exploration aujourd'hui, qui est d'ailleurs tiré d'un super dossier intitulé « Des boules dans le plan », c'est de comprendre comment on en arrive là. On va redéfinir la notion même de distance grâce à un concept qu'on appelle la norme.

Intervenant 11:03

Voilà, on va vraiment tordre, étirer et briser la géométrie classique. Mais avant de parler d'étoiles bizarres, je crois qu'il faut déconstruire une illusion qu'on a tous. Cette fameuse illusion de la ligne droite.

Intervenant 21:17

C'est vrai, c'est

Intervenant 11:18

tenace. Bah oui, sur une feuille de papier, la distance la plus courte entre un point A et un point B, c'est la ligne droite. On prend une règle, on trace un trait, terminé, on apprend ça à l'école primaire quoi.

Intervenant 21:29

Ouais, et c'est ce qui définit ce qu'on appelle le plan euclidien. Dans ce cadre très classique, on utilise la norme euclidienne. En gros, l'équation de base pour calculer la distance d'un point par rapport au centre.

Intervenant 11:40

C'est Pythagore, non ?

Intervenant 21:41

C'est ça, le bon vieux théorème de Pythagore. On prend les coordonnées, on les met au carré, on les additionne et on prend la racine carrée de tout ça.

Intervenant 11:48

D'accord.

Intervenant 21:49

C'est pour ça qu'on l'appelle la norme 2, parce que tout repose sur cette puissance 2. Et du coup, la boule qui correspond à cette règle, c'est-à-dire l'ensemble des points situés à une distance de 1 par rapport au centre, c'est un disque parfait.

Intervenant 12:02

Le fameux cercle tracé au compas. La boule de pétanque veut d'eau, on y revient. Mais l'histoire bascule complètement au début du XXe siècle grâce à un mathématicien français, Henri Lebesgue.

Intervenant 22:14

Henri Lebesgue, oui, un génie.

Intervenant 12:16

En fait, il observe ce petit chiffre 2 dans la formule de Pythagore et il se dit, bah, et si ce 2 n'était pas une fatalité ? Il décide de faire sauter le verrou en le remplaçant par une variable.

Intervenant 22:27

Une simple lettre, ouais, la lettre P.

Intervenant 12:29

Voilà, il invente la P-norme. Au lieu de mettre au carré et de prendre la racine carré, on met à la puissance P et on prend la racine PIM. Et là, il ouvre carrément la boîte de Pandore de la géométrie ignante.

Intervenant 22:40

C'est clair. Et il faut savoir que les bègues ne cherchaient pas juste à compliquer les choses pour le plaisir. Ils travaillaient sur des espaces de fonction d'une complexité folle.

Intervenant 12:49

Ah donc il avait besoin d'un outil plus puissant.

Intervenant 22:52

Exactement. Le cadre classique de Pythagore ne suffisait plus. Mais l'astuce géniale, pour ceux qui nous écoutent et qui veulent visualiser le truc, c'est de regarder ce qui se passe quand on donne des valeurs différentes à ce fameux P.

Intervenant 13:04

Ouais, et lequel plus accessible pour commencer, c'est tout bêtement de remplacer ce 2 par le chiffre 1.

Intervenant 23:09

Ah, la norme 1 !

Intervenant 13:10

Voilà. Si on met 1, la formule s'effondre dans sa version la plus simple. Plus de carrés, plus de racines, on additionne juste la valeur horizontale et la valeur verticale pour obtenir 1.

Intervenant 23:20

Et le résultat visuel est incroyable !

Intervenant 13:22

C'est fou. Quand on trace ça sur un quadrillage, le beau cercle rond devient un losange parfait. Un carré plein, mais posé sur sa pointe.

Intervenant 23:32

Comment une distance peut-elle générer des angles droits en fait ?

Intervenant 13:34

C'est contre-intuitif.

Intervenant 23:36

Grave.

Intervenant 13:36

Mais je crois que la meilleure analogie pour comprendre ça, c'est de s'imaginer en plein cœur de New York.

Intervenant 23:41

Ah oui, la fameuse distance de Manhattan.

Intervenant 13:44

C'est ça. Imaginons un oiseau. S'il veut aller d'un point à un autre, il s'envole et passe par-dessus les gratte-ciels en ligne droite. Ça, c'est notre distance habituelle, le monde du chiffre 2.

Intervenant 23:53

Le trajet direct ?

Intervenant 13:55

Mais si on prend la place d'un chauffeur de taxi dans les rues de Manhattan, qui sont conçues comme un quadrillage géant, On ne peut pas traverser les immeubles en béton, non ?

Intervenant 24:04

Sauf dans les films d'action, à la

Intervenant 14:06

limite. Mais en vrai, le taxi doit obligatoirement longer les avenues. Il avance tout droit, il tourne à angle droit à un carrefour, puis il avance encore.

Intervenant 24:16

Et c'est ça la réalité de la distance quand P vaut 1.

Intervenant 14:18

Exactement. La boule en forme de losange, c'est simplement la carte de tous les carrefours que le taxi peut atteindre avec, disons, exactement 1 litre d'essence.

Intervenant 24:27

J'adore cette image de la cartographie de l'essence. Ça illustre parfaitement le concept de boule unité. La forme, en fin de compte, ce n'est que la frontière des destinations possibles pour un budget donné.

Intervenant 14:38

Un budget de déplacement, ouais.

Intervenant 24:39

Mais les cons, si passer de 2 à 1 suffit à transformer un cercle lisse en une forme pointue, on peut se demander ce qui se passe si on pousse la logique vers des extrêmes.

Intervenant 14:48

Genre vers l'infini ?

Intervenant 24:49

Voilà, si on emmène P vers l'infini. Il faut imaginer la forme mutée en direct. On passe à 3, puis à 10. La boule commence à gonfler. Les bords du losange s'aplatissent. Ils s'écartent vers l'extérieur.

Intervenant 15:03

Ça s'étire.

Intervenant 25:04

Et quand on atteint virtuellement l'infini, paf, la forme se fige. C'est devenu un carré parfait. Mais plus un losange sur la pointe. Un grand carré posé bien à plat sur sa base.

Intervenant 15:16

Et la formule mathématique change complètement à ce moment-là, non ?

Intervenant 25:19

Ah oui, c'est une métamorphose totale. Toutes les additions et les puissances disparaissent. Ça laisse place à une simple fonction qu'on appelle la fonction max.

Intervenant 15:28

La fonction max ?

Intervenant 25:30

Ouais. En fait, le mécanisme est super logique. Quand on élève des nombres à des puissances gigantesques, l'écart entre eux devient énorme. Imaginons deux coordonnées genre 2 et 1.