Règle et compas : pourquoi certains nombres résistent

Intervenant 10:00

Allez, on imagine une feuille de papier, une feuille infiniment blanche, pas de repères, pas de quadrillage du tout, pas le moindre petit chiffre noté dans un coin, juste un compas basique et une règle totalement vierge, sans aucune graduation.

Intervenant 20:12

C'est un peu le dénuement total, mathématiquement parlant.

Intervenant 10:15

Oui, exactement. Et pendant plus de deux millénaires, il y a une question qui a littéralement obsédé les plus grands esprits de l'humanité. Avec ce simple kit de survie, est-ce qu'on peut atteindre n'importe quel point géométrique ? Est-ce qu'on peut, en quelque sorte, construire l'univers entier à partir de rien ?

Intervenant 20:31

Rien que

Intervenant 10:31

ça. Rien que ça. Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, pour une plongée vertigineuse au cœur d'une des énigmes les plus tenaces de l'histoire des mathématiques. Je suis super enjoué aujourd'hui parce que le sujet est dingue.

Intervenant 20:42

Je confirme, c'est une exploration fascinante. Je suis ravie d'être là. Cette quête, elle commence dans le sable de l'Antiquité grecque avec une idée de pureté absolue. Le défi, ce n'était pas juste de faire de jolis dessins.

Intervenant 10:55

Non, ça, c'est sûr.

Intervenant 20:56

C'était vraiment de prouver l'existence même des grandeurs. Et ce qui est captivant dans les sources qu'on va explorer, tirées de l'article « De la géométrie à l'algèbre, construire les nombres », c'est de voir comment un simple problème de dessin, avec une règle et un compas, s'est heurté à des murs infranchissables.

Intervenant 11:14

Des murs qui ont rendu fous des générations de mathématiciens.

Intervenant 21:17

Mais totalement. Et ça les a forcés, des siècles plus tard, à inventer une algèbre monumentale juste pour s'en libérer. C'est une aventure pleine de

Intervenant 11:26

rebondissements. Let's unpack this, décortiquons tout ça, parce qu'il faut bien poser les bases. Et pour bien comprendre ce défi antique, moi j'aime bien faire un parallèle avec un jeu vidéo de survie.

Intervenant 21:37

Ah, le fameux système de crafting !

Intervenant 11:39

Ouais, voilà, le crafting. C'est un peu comme ces jours où le personnage se réveille sur une île avec, bah, littéralement, les poches vides. Notre univers de base ici, c'est le plan euclidien, une grande étendue vide. Et l'inventaire de départ est super minimaliste.

Intervenant 21:52

On n'a presque rien ?

Intervenant 11:54

C'est ça, on n'a que deux choses. Un premier point de départ, qu'on appelle O, pour l'origine, et un deuxième point, posé un peu plus loin, qu'on appelle I. C'est notre bois et notre pierre originelle, en fait.

Intervenant 22:04

C'est une super analogie. Et avec ce bois et cette pierre combinés aux deux seuls outils physiques qu'on a le droit d'utiliser, donc la règle non graduée pour tracer des droites et le compas pour capturer et reporter un écartement, l'objectif c'est de générer tout le reste.

Intervenant 12:20

Tout le reste du monde.

Intervenant 22:21

Mais attention, la règle du jeu exige de définir hyper rigoureusement ce qu'est un objet constructible. C'est pas juste faire une esquisse à main levée sur un coin de table. Ah

Intervenant 12:30

non, on est en mathématiques, faut de la rigueur.

Intervenant 22:33

Voilà, un objet constructible dans cet univers abstrait, c'est exclusivement une droite ou un cercle qu'on obtient après une séquence finie d'étapes et en exploitant uniquement les points qui existent déjà.

Intervenant 12:44

Les mentions d'une séquence finie, c'est hyper crucial. On ne peut pas juste dire ouais, on fait ça une infinité de fois pour s'approcher du but. Il faut que l'action ait une fin physique. Donc, on commence notre petit artisanat.

Intervenant 22:56

On prend la règle.

Intervenant 12:57

Ouais, on relie O et I et paf, on obtient une première droite. Ensuite, on pose la pointe sèche du compas sur O, la mine sur I, on tourne et on a un cercle. Un cercle de rayon

Intervenant 23:08

OI. Et les sources nous rappellent qu'avec ces tout premiers mouvements, on fabrique hyper vite des outils plus sophistiqués.

Intervenant 13:14

Genre des nouveaux plans de craft ?

Intervenant 23:15

Exactement. On arrive à tracer des perpendiculaires, on peut élever des parallèles, trouver le milieu exact d'un segment ou même couper un angle en deux avec une bisectrice.

Intervenant 13:24

C'est fou qu'on puisse faire tout ça juste avec des ronds et des lignes droites. Et du coup, la grande quête du jeu devient évidente pour quiconque s'y penche. Est-ce que ce processus permet, à terme, de tout construire ?

Intervenant 23:38

Et c'est là qu'il faut dissiper une illusion tenace. Un vrai mirage visuel qui a trompé énormément de monde.

Intervenant 13:44

Ah bon ? Lequel ?

Intervenant 23:45

Bah, c'est pas parce qu'une droite constructible est tracée sur la feuille que tous les points qui la composent deviennent miraculeusement connus ou utilisables.

Intervenant 13:53

Attends, tu veux dire que la ligne qu'on vient de tracer, on la connaît pas vraiment ?

Intervenant 23:57

Visuellement, la ligne noire donne une impression de continuité parfaite, oui. Mais mathématiquement, on ne possède pas tous ces points.

Intervenant 14:04

C'est ouf ! C'est un peu comme si cette ligne géométrique, c'était en fait un chemin invisible qui traverse un brouillard super dense. On sait que la route est sous nos pieds, mais les seuls endroits où on a vraiment le droit de s'arrêter pour planter un drapeau ou monter un campement, ce sont les carrefours.

Intervenant 24:21

Voilà les intersections, c'est la règle d'or. Ce principe de carrefour dicte toute l'évolution de la construction. Un point n'acquiert le statut de point constructible que s'il n'est d'une collision avérée.

Intervenant 14:31

Une collision entre quoi et quoi ?

Intervenant 24:33

L'intersection entre deux droites, ou entre une droite et un cercle, ou bien entre deux cercles qu'on a construit avant. Tout le reste de la ligne qu'on a tracée, c'est juste un vide potentiel.

Intervenant 14:43

Donc on ne peut pas juste glisser son doigt le long de la règle, s'arrêter au pif et dire hop, ça c'est un nouveau point ?

Intervenant 24:50

Ah non, surtout pas. Chaque étape doit être justifiée par un croisement géométrique rigoureux.

Intervenant 14:56

Bon, la mécanique de survie est posée. Mais on réalise vite un truc. À force de tracer des cercles et des droites dans tous les sens pour trouver ces fameux carrefours, la feuille de papier devient un enchevêtement complètement incompréhensible.

Intervenant 25:09

Un vrai gribouillis géant.

Intervenant 15:11

C'est ça. Et c'est là que l'histoire prend un tournant décisif. Pour savoir si ces carrefours peuvent vraiment mailler tout l'univers, il a fallu un changement de point de vue radical. Et c'est là qu'intervient René Descartes.

Intervenant 25:22

À Descartes, il va bâtir un pont intellectuel massif entre ce brouillard géométrique et un monde beaucoup plus propre, beaucoup plus structuré. Le monde des nombres.

Intervenant 15:33

Comment il s'y prend ?

Intervenant 25:34

Il a l'intuition fondatrice qu'il faut étiqueter cet univers. La géométrie pure, elle a des limites analytiques, parce qu'elle repose trop sur l'intuition spatiale. Avec le repère cartésien, ça change tout.

Intervenant 15:46

Notre fameux bois et notre pierre de tout à l'heure.

Intervenant 25:48

Exactement. Le point de départ O devient l'origine avec les coordonnées . Le point I permet de définir l'axe horizontal avec les coordonnées . Et grâce aux techniques de la règle et du compas, notamment la perpendiculaire, hop, on dresse un axe vertical.

Intervenant 16:04

Et voilà le fameux quadrillage. Les abscisses, les ordonnées, le truc qu'on étudie tous à l'école. Et soudain, la mission change complètement de nature.

Intervenant 26:12

C'est plus du tout la même question.

Intervenant 16:14

Bah non, c'est plus « est-ce qu'on peut poser la pointe du compas ici ? » et ça devient « est-ce que le nombre qui correspond à cette coordonnée est un nombre constructible ? » On bascule de la géométrie pure à l'arithmétique pure, quoi.

Intervenant 26:24

Le problème visuel devient un problème d'algèbre. C'est brillant. Un nombre réel est qualifié de constructible si la distance qui le sépare de zéro peut être physiquement matérialisée sur notre axe horizontal, toujours en respectant les intersections dont on parlait.

Intervenant 16:41

Alors faisons un peu l'inventaire de ce catalogue de nombres constructibles. Les nombres entiers, par exemple. Bon, ça pose aucune difficulté.

Intervenant 26:47

Non, c'est basique.