Convexité : des inégalités de Cauchy à Jensen

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un vrai bonheur de lancer cette nouvelle plongée dans nos sources mathématiques.

Intervenant 20:08

Salut ! Ouais, une plongée qui va nous montrer que parfois les mathématiciens tentent de forcer une porte blandée avec un trombone.

Intervenant 10:16

En suant à grosses gouttes alors que la porte n'a même pas de serrure.

Intervenant 20:20

C'est exactement ça. C'est l'histoire fascinante de la convexité. On va voir que ce n'est pas né d'une grande abstraction soudaine.

Intervenant 10:27

Non, c'est venu d'un besoin super concret et laborieux pour démontrer des inégalités. La pratique a complètement devancé la théorie.

Intervenant 20:35

Et le meilleur exemple de cette fameuse porte blindée, c'est Augustin Louis Cauchy en 1821. Ah oui,

Intervenant 10:42

lui, il voulait prouver que la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.

Intervenant 20:47

Et ces démonstrations, c'est de l'algèbre brut. Il y va vraiment en force. Mais en coulisses, sans qu'il s'en rende compte, il y a la fonction de la mise au carré qui fait tout le travail.

Intervenant 10:58

Parce que si on trace cette fonction, ça fait un sourire. Et la géométrie de ce sourire fait que si on relie deux points par une ligne,

Intervenant 21:06

la ligne passera toujours au-dessus du creux. Voilà. Cette simple forme force une valeur à être plus grande qu'une autre.

Intervenant 11:13

Sauf que Cauchy s'épuise sans utiliser ce concept. Il a fallu attendre Leonard James Rogers en 1888 pour aller plus loin.

Intervenant 21:21

Ouais, Rogers a étendu ça aux moyennes pondérées et même aux intégrales grâce aux sommes de Riemann. Un vrai pas de géant.

Intervenant 11:28

Un pas de géant qui a failli disparaître isolé. Parce que dans les sources, on remarque une sacrée injustice historique.

Intervenant 21:34

Tu parles de l'inégalité de Hölder ?

Intervenant 11:36

Bah oui. Une célèbre inégalité de Rajers est aujourd'hui attribuée à tort à Otto Ludwig Holder. C'est un vol pur et simple, non ?

Intervenant 21:44

Alors en fait, non même pas. Les textes montrent que Holder cherchait autre chose en 1889. Il travaillait sur des inégalités strictes.

Intervenant 11:54

Donc il voulait s'assurer que les valeurs ne soient jamais égales.

Intervenant 21:57

Exactement. Et pour ça, il s'est appuyé sur le théorème des accroissements finis, en utilisant consciemment la convexité de l'exponentielle et la concavité du logarithme.

Intervenant 12:06

D'accord. Donc il a bien apporté sa propre pierre à l'édifice.

Intervenant 22:10

Oui, il maniait ses outils avec précision, mais on n'avait toujours pas de définition formelle de ce qu'est une fonction convexe.

Intervenant 12:17

C'est fou ! Il faut attendre 1905 et une conférence de Johan Jensen pour avoir la première vraie définition, basée sur le point milieu.

Intervenant 22:26

Voilà. En gros, si le point milieu de la courbe est plus bas que la moyenne des extrémités, c'est convexe.

Intervenant 12:32

Mais là, je dois t'arrêter parce que pour moi, c'est évident. Une courbe en forme de bolle, visuellement, on ne lève pas le stylo. C'est obligatoirement continu.

Intervenant 22:42

Ah, l'intuition visuelle. C'est un piège classique. Georges Hamel a prouvé que c'était faux.

Intervenant 12:48

Attends, pas du tout continu ?

Intervenant 22:49

Pas du tout. En utilisant l'axiome du choix, une règle qui permet des choix arbitraires, Hamel a créé une fonction convexe mais totalement discontinue.

Intervenant 12:59

Un monstre mathématique en fait. Un nuage de points chaotique.

Intervenant 23:02

Ouais, ça a mis un sacré coup à la communauté. Jusqu'à Walslav Sierpinski en 1990. Qui

Intervenant 13:09

a rassuré tout le monde, j'imagine.

Intervenant 23:10

C'est ça. Il a prouvé qu'une fonction convexe est continue si elle appartient aux fonctions mesurables au sens de l'ébègue.

Intervenant 13:16

En gros, les fonctions normales du monde réel.

Intervenant 23:18

Exactement. L'aberhamtion de Hamel reste une exception théorique.

Intervenant 13:22

Donc on part de l'outil intuitif de Cauchy pour arriver à la rigueur absolue de Jensen et Sierpinski.

Intervenant 23:29

C'est une belle harmonie mathématique. Mais le dossier biographique qu'on a lu révèle un contraste glaçant avec la réalité.

Intervenant 13:36

Oui, les sources sont très factuelles mais dures. Hamel, le créateur de cette fonction abstraite, était un fervent nazi.

Intervenant 23:42

Une idéologie mortifère dont Sierpinski a justement été l'une des victimes tragiques. Les textes rapportent ça de manière impartiale, mais le décalage est vertigineux.

Intervenant 13:51

Oui, on rapporte juste l'effet des documents, mais ça donne matière à réfléchir. L'harmonie des mathématiques ne protège pas des ténèbres de l'histoire humaine.

Intervenant 23:59

C'est une pensée finale qu'on laisse à chacun.

Intervenant 14:01

Merci d'avoir suivi cette analyse et à la prochaine pour une nouvelle exploration mathématique.