Conjecture abc : l’enquête sur l’étape qui divise

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on a une émission super spéciale parce qu'on va plonger dans le plus grand scandale silencieux des mathématiques modernes.

Intervenant 20:10

Bonjour ! Et oui, c'est vraiment le mot, un scandale. On parle d'un problème légendaire qui a prétendument été résolu en 2012, mais que, en fait, le monde entier est juste incapable de vérifier depuis 12 ans maintenant.

Intervenant 10:22

C'est complètement fou. Et tout ça, ça tourne autour d'un truc qui allait renfantin sur le papier, la fameuse conjecture abc. En gros, c'est juste l'équation A plus B égale C avec des nombres entiers.

Intervenant 20:32

Voilà, c'est ça, A plus B égale C. Mais l'enjeu est colossal.

Intervenant 10:37

Pour comprendre pourquoi cette petite addition est si tordue, moi j'aime bien comparer ça à une recette de cuisine magique. C'est comme si le fait d'additionner tes ingrédients de base, A et B, ça allait lourdement contraindre la nature des gènes fondamentaux de ton résultat C.

Intervenant 20:52

Ah ouais, l'analogie de la recette génétique, ça marche hyper bien. En maths, ces gènes fondamentaux, c'est ce qu'on appelle le radical d'un nombre. On le note rad2n.

Intervenant 11:01

Ok, le radical. Et ça correspond à quoi exactement ?

Intervenant 21:04

En fait, c'est juste le produit de ces facteurs premiers distincts. Prenons l'exemple du nombre 12. 12, c'est 2 au carré fois 3. Eh bien, pour son radical, tu oublies carrément la puissance. D'accord,

Intervenant 11:15

on garde juste les nombres de

Intervenant 21:17

base. Exactement. Tu prends juste 2 fois 3, c'est que donne 6. Et du coup, la conjecture abc, elle dit que les cas où c est plus grand que le radical de a fois b fois c élevé à une puissance juste un tout petit peu supérieure à 1, un truc qu'on appelle 1 plus epsilon, ces cas-là, ils sont extrêmement rares.

Intervenant 11:34

Donc, en gros, trouver de très grandes puissances dans les facteurs premiers d'une addition, c'est une anomalie totale.

Intervenant 21:39

Voilà, c'est une exception statistique. Et l'enjeu, il est là. Si on valide cette conjecture, ça prouve d'un seul coup des dizaines d'autres théorèmes.

Intervenant 11:46

Ah oui, genre le fameux dernier théorème de Fermat. Donc j'imagine que quand Shinichi Mochizuki a publié sa démonstration en 2012, toute la communauté a dû sauter au plafond, non ?

Intervenant 31:56

Elle fait 500 pages et elle est basée sur un truc qu'il a appelé la théorie IUT. Et c'est un langage complètement extraterrestre. Il invente ses propres objets, ses propres notations.

Intervenant 12:06

Mais attends, on parle de l'élite mondiale des maths, là. Pourquoi les esprits les plus brillants s'assoient pas juste autour d'une table pour apprendre ce nouveau langage, quoi ?

Intervenant 32:16

Parce que le système classique de revue par les pairs, la fameuse peer review, il est juste pas conçu pour ça. Je veux dire, t'es pas payé pour risquer six mois de ta carrière à étudier un texte obscur.

Intervenant 12:27

Ah ouais, surtout s'il n'y a aucune garantie que ça marche à la fin.

Intervenant 32:30

C'est exactement ça. T'imagines, tu passes six mois et paf, tu trouves une erreur fatale à la page 499. Mais malgré ça, il y a quand même deux légendes de la théorie des nombres, Peter Scholtz et Jacob Styx, qui ont fait l'effort en 2018. Et alors ? Ils ont pointé une faille très précise, une erreur dans une étape clé du raisonnement.

Intervenant 12:50

Ok, donc là, Moshizuki a publié un correctif, ou au moins ils ont pu en débattre, non ?

Intervenant 32:55

Non mais pas du tout. Le déni total. Il a juste dit que Scholz et Sticks n'avaient pas la capacité de comprendre sa théorie. Le dialogue est complètement rompu. Et le pire, c'est qu'il a fini par faire valider sa preuve dans une revue de l'université de Kyoto.

Intervenant 13:10

Laisse-moi deviner, c'est sa propre revue ?

Intervenant 33:12

Voilà, il en est le rédacteur en chef.

Intervenant 13:14

C'est lunaire, quoi. Du coup, comme les humains font un blocage absolu, j'ai lu qu'on se tournait vers l'ordinateur comme juge suprême.

Intervenant 33:21

Oui, tout à fait, en utilisant des assistants de preuves.

Intervenant 13:24

Mais là, moi, mon cerveau bloque. Si personne, enfin si aucun humain ne comprend vraiment cette théorie extraterrestre, comment tu veux programmer une machine pour la vérifier ?

Intervenant 33:33

C'est ça qui est génial avec ces logiciels. En fait, l’ordinateur, il n'a pas du tout besoin de comprendre la philosophie du truc. Les chercheurs traduisent chaque étape en opérations logiques ultra basiques.

Intervenant 13:44

Ah, donc c'est purement mécanique ?

Intervenant 33:45

C'est ça. La machine ne juge pas le sens. Elle vérifie juste mécaniquement la validité de l'étape que Scholes et Sticks contestent. C'est vraiment l'arbitre impartial parfait.

Intervenant 13:55

D'accord, mais ça pose un énorme problème sur la transmission du savoir, ça. Si on a une preuve qui est techniquement validée par un logiciel, mais qui reste totalement illési pour un cerveau humain, est-ce que c'est encore une vraie preuve mathématique ?

Intervenant 34:08

C'est la grande question philosophique du moment. Si la vérification devient purement algorithmique, on gagne en certitude technique, oui, mais on perd complètement en compréhension. On sait que c'est vrai, mais on ne sait pas vraiment pourquoi.

Intervenant 14:23

C'est vertigineux quand même, partir d'un truc aussi basique que A plus B égale C pour arriver à une telle impasse. Ça amène une vraie pensée provocatrice pour nos auditeurs, si un ordinateur finit par valider définitivement ce labyrinthe que personne ne peut lire, est-ce que l'humanité aura officiellement sous-traité la vérité mathématico-machine, franchissant en gros un point de non-retour dans l'histoire de la connaissance ?