30 nov. 2018 · 22 min
Combinatoire : pourquoi des objets simples résistent-ils ?
Suivez Pierre Duchet des origines de la combinatoire à ses problèmes ouverts, où graphes, Loto et polyminos révèlent la difficulté du discret.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui pour cette nouvelle exploration. Alors installez-vous bien parce qu'on va aborder un truc, un sujet qui paraît simple au premier abord, mais qui cache un gouffre absolu.
Intervenant 2
Bonjour. Oui, un vrai gouffre, c'est le mot.
Intervenant 1
Ouais, imaginez juste une seconde que, eh bien, vous deviez livrer des colis, d'accord ? Et vous avez seulement 20 villes d'Europe sur votre liste. 20 villes, ça va. Et votre but, c'est juste de trouver le trajet le plus court.
Intervenant 2
Le plus logique, quoi.
Intervenant 1
C'est ça. Eh bien, si vous aviez un super calculateur qui testait une nouvelle route, disons, chaque seconde, et ce depuis le tout début de l'univers, depuis le Big Bang, eh bien, ce calculateur n'aurait toujours pas terminé de vérifier toutes les options aujourd'hui.
Intervenant 2
C'est complètement fou quand on y pense.
Intervenant 1
C'est dingue. Et donc notre mission aujourd'hui dans ce décryptage, c'est de comprendre ce mur invisible. On va plonger dans un domaine des mathématiques qui est absolument partout, des réseaux routiers à la chimie des molécules, et pourtant il reste vachement dans l'ombre.
Intervenant 2
Ouais, on n'en parle presque jamais au grand public.
Intervenant 1
Voilà, on va parler de la combinatoire. Et pour ça, on s'appuie sur un entretien vraiment fascinant avec Pierre Duché. C'est un spécialiste français de la question, un ancien élève de l'illustre Claude Berge.
Intervenant 2
Et c'est un domaine qui mérite tellement qu'on s'y arrête. Parce qu'en fait, la combinatoire, ça exige une gymnastique mentale très particulière.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Si on cherche à la définir de la manière la plus fondamentale possible, on va dire que c'est l'étude systématique des structures discrètes. Et c'est là que c'est intéressant, Pierre Duché utilise une formule que j'adore. Il dit que la combinatoire, c'est une, je cite, « manière molle de parler de l'espace ».
Intervenant 1
Une manière molle. Alors ça, essayons de décortiquer un peu ça. Parce que moi, quand j'entends ça, j'ai envie d'opposer ça aux maths qu'on apprend tous au lycée, non ?
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
Au lycée, on fait des maths continues. C'est les fonctions, les courbes bien fluides. Pour moi, c'est comme de la pâte à modeler. On peut l'étirer, on peut la couper à l'infini, c'est lisse.
Intervenant 2
Ouais, c'est le continu, c'est ça.
Intervenant 1
Alors que la combinatoire, ce serait plutôt, disons, une énorme boîte de briques de Lego.
Intervenant 2
Ah oui, excellente analogie.
Intervenant 1
Oui, parce que dans les Lego, ce qui compte, ce n'est pas la forme géométrique exacte de la brique, ni même en quoi elle est faite. L'important, c'est comment elle s'emboîte avec ses voisines. La connexion, en fait, c'est la seule vraie information.
Intervenant 2
Exactement. La connexion. Et on peut même aller un peu plus loin avec votre métaphore. Quand vous construisez un truc en Lego, savoir si la brique rouge est à 2 ou 3 cm de la bleue sur la table, on s'en fiche complètement.
Intervenant 1
Ce n'est pas la question,
Intervenant 2
oui. Ce qui compte sur le plan algébrique, c'est est-ce qu'il y a un lien direct entre elles ou pas ? C'est cette architecture cachée qu'on étudie. Et du coup, c'est pour ça que la combinatoire, ça permet de modéliser des trucs aussi différents qu'un réseau d'amis sur un réseau social.
Intervenant 1
Ah ouais, genre qui connaît qui ?
Intervenant 2
Voilà. Ou bien l'arborescence des fichiers dans votre ordinateur. Les briques de base changent, mais la structure, elle, c'est la même mathématiquement.
Intervenant 1
D'accord. Et si on regarde un peu en arrière, Euler, il a été l'un des tout premiers à capter cette logique, non ? L'article de Tangente mentionne ce fameux problème des ponts de Konigsberg au XVIIIe siècle. Pour moi, c'est vraiment l'exemple parfait de cette abstraction.
Intervenant 2
Ah bah oui, c'est carrément l'acte de naissance de la combinatoire structurelle. En fait, l'histoire est géniale. Les habitants de cette ville, Konigsberg, ils se posaient une question toute bête. Ils se demandaient si c'était possible de se promener le dimanche en traversant les sept ponts de la ville, mais une seule et unique fois chacun.
Intervenant 1
Le petit casse-tête de balade, quoi.
Intervenant 2
Exactement. Et Euler, ce qu'il a compris, c'est que la forme de la rivière, la longueur exacte des ponts, la verdure sur les îles, bah tout ça c'était du bruit.
Intervenant 1
Du bruit visuel, ouais.
Intervenant 2
C'est ça. Donc il a littéralement effacé la géographie, il a pris chaque morceau de terre, il l'a remplacé par un simple point sur un bout de papier. Et chaque pont, c'est devenu juste une ligne entre ces points.
Intervenant 1
Il a fait un réseau, en fait.
Intervenant 2
Un pur réseau de connexion. Et juste avec ça, en réduisant la réalité à ça, il a pu prouver mathématiquement que la balade était impossible. Juste en comptant les lignes qui arrivaient sur chaque point.
Intervenant 1
C'est quand même vertigineux de se dire qu'en enlevant des informations, en enlevant la géométrie, on arrive à résoudre le problème de la vraie
Intervenant 2
vie.
Intervenant 1
Et d'ailleurs, on retrouve des petites touches de cette pensée discrète chez Laplace avec sa vision atomiste ou même Leibniz qui découpait des surfaces. Mais ce qui me marque dans notre lecture, c'est que pendant super longtemps, ça reste des curiosités.
Intervenant 2
Des amusements pour mathématiciens.
Intervenant 1
Des petits jeux de génie, voilà. Et pour que ça devienne une vraie discipline solide, il faut attendre les années 1930. Et là, boum, c'est l'explosion. Mais le plus fou, c'est que tout se passe au même endroit, en Hongrie.
Intervenant 2
L'école hongroise, c'est un phénomène assez unique dans toute l'histoire des sciences en fait. Vous prenez R2, Sturand, Lova, Smeredi.
Intervenant 1
Que des grands
Intervenant 2
noms. Que des géants. Et ils sortent tous du même creuset. Il faut bien comprendre que ce n'est pas de la magie ou de la génération spontanée. La Hongrie, à l'époque, avait mis en place une culture très spécifique autour de la résolution de problèmes.
Intervenant 1
Avec cette revue-là,
Intervenant 2
non ? Oui. Comal. C'était une revue de maths pour les lycéens. Il y avait des compétitions nationales hyper intenses. Et contrairement au système français de l'époque, par exemple,
Intervenant 1
Qui étaient très abstraits, j'imagine.
Intervenant 2
Très abstraits, très orientés sur l'algèbre classique, le calcul continu. Les Hongrois, eux, y valorisaient l'astuce. Le petit raisonnement discret, la capacité à trouver le truc élégant pour démontrer une structure complexe.
Intervenant 1
C'est un peu le côté hacker des mathématiques de l'époque.
Intervenant 2
C'est un peu ça.
Intervenant 1
Mais bon, ce bouillonnement, il était génial. Sauf qu'il restait quand même très confiné au monde académique.
Intervenant 2
Oui, ça reste fait théorique.
Intervenant 1
Le moment où ça bascule, où la combinatoire devient une urgence presque de survie, c'est pendant la seconde guerre mondiale, avec ce qu'on appelle la recherche opérationnelle. Là, on ne joue plus avec du papier.
Intervenant 2
Non, là, les enjeux sont massifs.
Intervenant 1
Il faut optimiser des convois de ravitaillement, des plannings d'usines. C'est du concret. Et c'est là qu'on retombe sur notre problème du tout début, le voyageur de commerce.
Intervenant 2
Absolument. C'est là que l'armée et ensuite l'industrie se mettent à poser la question cruciale. Quel est le trajet absolument le plus court pour relier tel ou tel nombre de destinations ? Et on fait comme Euler, on réduit ça à des points et des lignes.
Intervenant 1
Sauf que là on cherche un optimum. Et attendez, faisons juste une petite pause là-dessus. Parce que, honnêtement, si on y réfléchit de manière un peu naïve, on se dit, on a des ordinateurs puissants, pourquoi on leur dit pas juste, calcule toutes les routes possibles, compare, et donne-moi la plus petite ?
Intervenant 2
Ça paraît logique.
Intervenant 1
Surtout si on simplifie le truc à fond. Disons que toutes les villes sont exactement un kilomètre les unes des autres. Même là, l'ordinateur plante complètement. Pourquoi cet arbre des choix explose de façon aussi violente ?
Intervenant 2
Le coupable, c'est ce qu'on appelle la factorielle. Prenons juste la mécanique de base. Vous avez vos 20 villes. Pour votre tout premier arrêt, vous avez 20 choix possibles. Logique.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Ensuite, pour le deuxième arrêt, il vous en reste 19. Pour le troisième, 18. Et donc, le nombre total de trajets possibles, c'est 20 x 19 x 18 x 17, et ainsi de suite.
Intervenant 1
Ah ouais, c'est pas juste je rajoute une ville et ça fait une route de plus ?
Intervenant 2
Pas du tout, c'est pas linéaire. Chaque nouvelle ville, elle vient multiplier absolument tout l'ensemble des trajets précédents. À vingt villes, juste vingt villes, on dépasse les deux quintillions de possibilités. Deux quintillions ? C'est un deux avec dix-huit zéros derrière. Et le pire, c'est que même si la distance est toujours de un kilomètre, ça ne vous aide pas. Vous devez quand même vérifier chaque combinaison pour être absolument sûr et certain qu'il n'y a pas un cul-de-sac quelque part.
Intervenant 1
C'est ce mur exponentiel dont on parle.
Intervenant 2
C'est un mur d'une brutalité totale.
Intervenant 1
Et on sent bien que ce mur, dans les années 70, ça a été un vrai traumatisme pour les chercheurs. Ça a carrément forcé la création d'une branche entière, la théorie de la complexité. Parce que vu qu'on ne pouvait pas tout calculer, il fallait au moins trier les problèmes.
Intervenant 2
Savoir contre quoi on se bat.
Intervenant 1
Voilà, séparer ceux qui sont faisables de ceux qui sont juste maudits par nature.
Intervenant 2
Et c'est exactement la genèse des fameuses classes P et NP, dont on entend souvent parler. La classe P, pour faire simple, c'est les problèmes qui sont traitables. Si vous doublez la taille de vos données, le temps de calcul de l'ordinateur augmente, mais de façon raisonnable. On dit que c'est polynomial.
Intervenant 1
D'accord, donc ça reste gérable.
Intervenant 2
Mais la classe NP, alors là c'est une autre histoire. Ce sont des problèmes où trouver la solution demande un temps astronomique. Mais, et c'est la nuance clé, vérifier une solution qu'on vous donne, ça c'est immédiat.
Intervenant 1
Ok, donc si je reprends l'exemple du voyageur de commerce. Trouver le meilleur trajet pour 20 villes. On a vu, ça prendrait des millénaires. Mais si, moi je vous tends une carte avec un itinéraire tracé au marqueur rouge. Et que je vous dis, eh regarde, ce trajet-là fait moins de 100 km.
Intervenant 2
Ah bah là c'est facile.
Intervenant 1
Je prends ma petite calculatrice, j'additionne les 20 segments et en 3 minutes je vous dis si c'est vrai ou faux.
Intervenant 2
C'est exactement ça la classe NP. Et aujourd'hui, le Graal absolu des mathématiques, c'est cette question P égal NP. Le consensus mondial c'est de dire que vérifier quelque chose, c'est fondamentalement différent de le trouver à partir de rien.
Intervenant 1
Donc P ne serait pas égal à NP.
Intervenant 2
Voilà. Sauf que personne n'arrive à le prouver formellement. C'est tellement une prise de tête abstraite qu'un chercheur comme Jack Edmonds, qui est un pionnière de l'optimisation discrète d'ailleurs...
Intervenant 1
L'américain, oui.
Intervenant 2
Oui. Et petite anecdote, on l'a vu photographier en train de lire un vieil numéro de Tangente, le numéro 131.
Intervenant 1
Excellent.
Intervenant 2
Eh bien lui, il a proposé une autre façon de voir ça. Il a dit « un problème vraiment bien posé, c'est un problème qui appartient à la fois à NP et à co-NP ».
Intervenant 1
Alors là, co-NP, il va falloir qu'on décortique. Parce que NP, on a bien compris, c'est quand je peux vous prouver rapidement que la réponse est oui, en vous donnant la solution. Co-NP, logiquement, ce serait pouvoir prouver rapidement que la réponse est non.
Intervenant 2
C'est
Intervenant 1
ça. Comment on fait ça ? Prouver qu'une solution n'existe pas parmi des milliards de combinaisons possibles, ça demande forcément de tout vérifier, non ?
Intervenant 2
Eh bien non, pas si vous comprenez la structure cachée du problème. Prenez le coloriage de graphe, c'est un grand classique. Le but, c'est de colorier une carte de géographie de façon à ce que deux pays qui se touchent n'aient jamais, au grand jamais, la même couleur.
Intervenant 1
Ok.
Intervenant 2
Si je vous demande, est-ce que vous pouvez colorier cette carte géante avec seulement trois couleurs ? Pour me dire oui, vous me montrez la carte finie. C'est NP. Je vérifie vite fait, c'est bon.
Intervenant 1
Mais pour me dire non, pour me prouver que trois couleurs ça ne suffira jamais, vous n'allez quand même pas m'imprimer les milliards de tentatives ratées de votre ordinateur.
Intervenant 2
Précisément, ce serait inutile. À la place, vous allez chercher une sous-structure très spécifique. Imaginez que sur cette immense carte, vous trouviez juste quatre pays, un petit groupe de quatre, qui se touchent tous les uns les autres.
Intervenant 1
Comme s'ils se rencontraient tous au même point central, oui ?
Intervenant 2
Voilà. Logiquement, si quatre pays se touchent tous mutuellement, il faut forcément quatre couleurs différentes pour ce petit groupe.
Intervenant 1
Ah bah oui !
Intervenant 2
Du coup, dès que vous pointez cette toute petite anomalie locale du doigt, vous m'avez fourni un certificat de type « non ». C'est extrêmement rapide à vérifier pour moi. Vous venez de prouver une impossibilité globale juste en révélant une contrainte locale. Et ça, c'est la puissance de CoNP.
Intervenant 1
C'est brillant, en fait. Mais bon, ça ne marche pas à tous les coups, si je comprends bien. L'article explique que, par exemple, colorier à la fois les pays et leurs frontières, ce qu'ils appellent le nombre chromatique total, ça, ça reste NP difficile. C'est un cauchemar.
Intervenant 2
Oui, et il y a des monstres mathématiques qui résistent.
Intervenant 1
Un chercheur en combinatoire fait pour avancer. Ils n'ont pas de formule magique ?
Intervenant 2
Non, pas de magie. En fait, ils utilisent une boîte à outils qui est, je dirais, étonnamment minimaliste, mais d'une ingéniosité folle.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Quand on ne peut pas attaquer un problème de front, on utilise des théorèmes de base, très robustes. Le plus connu, c'est le fameux théorème des mariages. C'est une règle mécanique toute bête pour associer des éléments deux par deux de manière parfaite.
Intervenant 1
Ah oui, l'analogie classique de ce théorème, c'est avec un groupe de garçons et un groupe de filles, c'est ça ?
Intervenant 2
C'est ça.
Intervenant 1
Disons que chaque garçon a une liste de filles qui lui plaisent. Et le but, c'est d'arriver à marier tout le monde sans faire des déçus.
Intervenant 2
L'idée brillante de ce théorème, c'est de dire qu'on a juste besoin de vérifier une règle de capacité. Vous prenez n'importe quel petit groupe de garçons au hasard, disons un groupe de trois garçons.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Vous mettez en commun leur liste de filles préférées. Si au total, ces trois garçons ne s'intéressent qu'à deux filles différentes, le mariage global est mathématiquement impossible. Il y aura forcément un laissé-pour-compte parmi les trois.
Intervenant 1
Oui, ça coince.
Intervenant 2
Voilà. Le théorème des mariages prouve que si ce genre de goulot d'étranglement n'arrive jamais, quel que soit le sous-groupe de garçons que vous testez, alors vous êtes garantis de pouvoir marier absolument tout le monde dans la structure.
Intervenant 1
C'est super élégant, mais j'imagine que face à des énormes raisons industrielles, avec des milliers de connexions, ça devient un peu juste comme outil. Et c'est là qu'on sort l'artillerie lourde avec la décomposition, c'est ça ?
Intervenant 2
Tout à fait. C'est l'approche de l'équipe de Paul Seymour dont parle l'article. Si on reprend votre métaphore des Legos, on vous donne un immense château de briques, complètement intriqué, d'une complexité délirante. Comment vous l'analysez ?
Intervenant 1
Je suppose que je cherche par où le casser sans tout détruire.
Intervenant 2
Exactement, vous cherchez les points de rupture. C'est ce qu'on appelle la théorie des milliards de graphes. L'idée, c'est de scanner la structure géante et de repérer les endroits où les connexions sont les plus faibles, les coutures en quelque sorte.
Intervenant 1
Et on coupe ?
Intervenant 2
On coupe, on casse le grand château en blocs beaucoup plus petits, des briques élémentaires qu'on connaît par cœur. Et ensuite, le vrai génie mathématique, c'est de comprendre comment la colle qu'on va utiliser pour les réassembler affecte l'ensemble.
Intervenant 1
C'est un travail de titan. L'article disait qu'il leur a fallu quoi ? 25 ans de recherche ?
Intervenant 2
25 ans ! Et une série de 20 articles publiés juste pour prouver la conjecture de Berge, oui.
Intervenant 1
Et quand on ne peut vraiment pas décomposer, il reste une autre ruse, que je trouve assez savoureuse, c'est l'optimisation fractionnaire.
Intervenant 2
Ah ça c'est fascinant !
Intervenant 1
C'est le moment où on transforme notre carte routière en un énorme tableau d'équations. Chaque route devient une variable comme un petit interrupteur. On dit à l'ordinateur, écoute, la variable vaut 1 si le camion prend la route et 0 s'il ne la prend pas. Trouve-moi le trajet le plus court.
Intervenant 2
Sauf que l'ordinateur, face à des équations, lui, il réfléchit avec des nombres continus.
Intervenant 1
Il ne comprend pas le 0 ou 1 strict, c'est ça ?
Intervenant 2
Voilà. Il cherche l'équilibre parfait. Et très souvent, cet équilibre parfait, c'est une fraction. Donc la machine va revenir vers vous, très fière, et vous annoncer la solution optimale, c'est d'emprunter 0,5 fois la route A et 0,3 fois la route B.
Intervenant 1
Sauf que dans la vraie vie, un chauffeur de camion, il ne peut pas emprunter la moitié d'une autoroute. C'est absurde.
Intervenant 2
C'est tout le drame de la discipline. On a des solutions qui sont mathématiquement parfaites, sublimes, mais physiquement impossibles. Donc l'art du chercheur ici, c'est de rajouter des équations supplémentaires, qu'on appelle des coupes, pour forcer l'ordinateur à arrondir vers des entiers.
Intervenant 1
Sans détruire l'optimisation de départ.
Intervenant 2
Exactement, ce frottement perpétuel entre la théorie pure et les contraintes du réel, c'est ça le cœur battant de la combinatoire. Et ça ne concerne pas que l'industrie, ça touche aussi des choses hyper familières.
Intervenant 1
Oui, et c'est ce passage de Tangente que j'ai trouvé vraiment captivant, les problèmes extrémeaux. Surtout un problème qui va parler à tout le monde, le loto. C'est fou de voir à quel point notre intuition se trompe sur des choses aussi simples en apparence.
Intervenant 2
Ah, le loto ! Le loto classique, c'est 49 numéros. Et on vous demande de cocher des grilles de 6 numéros. La question extrémale, c'est de savoir combien de grilles différentes est-ce que je dois acheter, au strict minimum, pour être absolument certain, mathématiquement garanti, d'avoir au moins une grille avec 4 bons numéros au tirage.
Intervenant 1
On se dit, bon, c'est des probabilités de daze. L'ordinateur devrait me recracher la réponse en deux secondes, quoi.
Intervenant 2
Et pourtant, non. En 2010, lors de l'entretien avec Pierre Duché, ce problème n'avait toujours pas de formule générale close.
Intervenant 1
Mais pourquoi c'est si dur à calculer ce minimum ?
Intervenant 2
Le problème, ce sont les chevauchements. Quand vous remplissez une grille de 6 numéros, à l'intérieur de cette grille, il y a déjà plusieurs combinaisons de 4 numéros.
Intervenant 1
D'accord,
Intervenant 2
oui. Sauf que, quand vous achetez une deuxième grille, pour couvrir d'autres possibilités, certaines de ces sous-combinaisons vont forcément empiéter sur celles de la première grille.
Intervenant 1
C'est comme si vous essayiez de couvrir complètement le sol de votre salon avec des tapis ronds.
Intervenant 2
Ah, l'image est bonne. Vous allez forcément avoir des zones où les tapis se superposent et des petits trous entre les tapis. Calculer la disposition absolument parfaite des grilles pour minimiser cette superposition, tout en garantissant qu'on couvre 5% des cas gagnants, c'est un enfer géométrique.
Intervenant 1
Un enfer géométrique, ouais. Un autre enfer géométrique dont parle Duché, c'est les polyminos. Alors, pour visualiser, pensez simplement aux pièces du jeu Tetris.
Intervenant 2
Tout le monde connaît Tetris.
Intervenant 1
Un domino, c'est deux carrés collés. Un trimino, c'est trois carrés. Et on se pose une question qu'un enfant pourrait poser. Est-ce que je peux remplir cette forme, dessinée par terre, sans laisser aucun vide, en n'utilisant que des barres de 3 et des dominos de 2 ?
Intervenant 2
Une question toute simple. Et pourtant, déterminer si c'est faisable pour n'importe quelle forme, c'est NP complet.
Intervenant 1
Ça fait planter les ordis ?
Intervenant 2
Littéralement. Un geste aussi banal fait exploser le calcul.
Intervenant 1
Et Duchet, il a formulé une conjecture très fine sur ce truc précis. Il a remarqué que l'explosion des calculs, elle se déclenche surtout quand la forme qu'on veut remplir, elle a des trous au milieu. Si la forme est pleine, sans trou, simplement connexe comme on dit, bah là le problème redevient gérable. Mais pourquoi un simple trou au milieu vient tout gâcher à ce point ?
Intervenant 2
Parce qu'un trou, mathématiquement, ça agit comme une frontière interne. Imaginez, quand vous posez une pièce sur le bord extérieur de la forme, vous avez quelques contraintes. Mais quand il y a un trou au milieu, vous venez de créer des contraintes en plein cœur de l'espace. Et ça change tout. Oui, parce que poser une brique autour de ce trou, ça va forcer l'orientation des briques d'à côté, ce qui va forcer les briques suivantes. Ça crée une véritable onde de choc, une cascade de contraintes qui ricochent jusqu'au bord extérieur. Du coup, le trou entache l'algorithme de résoudre le problème petit bout par petit bout. Il l'oblige à traiter toute la géométrie globale d'un seul coup. Et c'est ce lien à longue distance qui fait saturer la mémoire.
Intervenant 1
C'est incroyable de voir comment un petit changement de topologie, un simple trou, fait basculer tout le problème dans la catégorie intraitable. Du coup, je me demande, avec une telle richesse et des applications aussi vitales aujourd'hui, dans les télécoms ou même la cryptographie, pourquoi la Combinatoire a eu cette image de parent pauvre pendant si longtemps ?
Intervenant 2
C'est vrai qu'elle a longtemps souffert d'un complexe d'infériorité. Je dirais que c'est lié à son architecture théorique. C'est un peu un défaut de jeunesse.
Intervenant 1
Par rapport aux autres disciplines, vous voulez dire ?
Intervenant 2
Oui. Prenez l'algebra ou l'analyse classique. Ce sont des disciplines majestueuses, fondées sur des axiomes bien nets, très ordonnés. La combinatoire, en comparaison, donne souvent l'impression d'être juste une grosse boîte à astuces.
Intervenant 1
Un recueil de recettes.
Intervenant 2
Voilà, on a plein de problèmes très disparates. Les camions de livraison, les mariages, le loto, Tetris. Mais il manquait longtemps une grande théorie unificatrice globale. Les mathématiciens puristes regardaient ça de haut comme un truc pour les informaticiens ou les ingénieurs.
Intervenant 1
Sauf que, heureusement, cette vision est en train de voler en éclats.
Intervenant 2
Complètement.
Intervenant 1
L'exemple le plus éclatant de sain, c'est ce fameux théorème de Green-Tao qui date de 2005. L'article le mentionne. Les nombres premiers, c'est la royauté absolue en maths. Ben Green et Terence Tao ont réussi à prouver qu'il existe des suites de nombres premiers espacées de manière parfaitement régulière et aussi longue qu'on veut.
Intervenant 2
C'est un exploit majeur.
Intervenant 1
Et le truc dingue, c'est que pour prouver ça sur des nombres purs, ils n'ont pas utilisé les outils traditionnels de l'analyse continue. Ils y sont allés avec la combinatoire. Ils ont attaqué le problème avec les outils du discret. C'est la consécration totale.
Intervenant 2
Absolument. Ça montre une bonne fois pour toutes que la combinatoire, c'est bien plus qu'une technique de logisticien. C'est un langage fondamental, capable de percer les secrets les plus intimes de l'arithmétique.
Intervenant 1
Et ça nous amène d'ailleurs à la réflexion de conclusion de Pierre Duchet. Une réflexion que je trouve vraiment vertigineuse. Depuis l'école, on nous rabâche que le monde est continu. On calcule des vitesses, des trajectoires avec des nombres à virgule, le calcul infinitésimal.
Intervenant 2
La fameuse pâte à modeler.
Intervenant 1
La pâte à modeler, exactement. Mais quand on se tourne vers la physique quantique aujourd'hui, qu'est-ce qu'on voit ? L'univers n'est pas fluide du tout. L'énergie, elle avance par saccades, par paquets finis. Les quantas ?
Intervenant 2
Oui, les atomes, les molécules, même l'ADN.
Intervenant 1
C'est ça. Au niveau le plus fondamental, notre monde physique ressemble beaucoup plus à des Legos qu'à du continu. Et donc la question qui se pose, c'est est-il possible que ces mathématiques continues, qu'on vénère depuis Newton, ne soient au final qu'une gigantesque illusion d'optique ?
Intervenant 2
Une approximation pratique,
Intervenant 1
oui. Très pratique, à notre échelle, mais fausse dans le fond. Et si, en fin de compte, la combinatoire devenait la seule et unique véritable langue mathématique de la nature ?
Intervenant 2
C'est une pensée incroyable. Ça remet beaucoup de choses en perspective.
Intervenant 1
C'est une question qu'on va vous laisser méditer. Merci d'avoir suivi cette exploration avec nous. Merci à vous pour vos éclairages.
Intervenant 2
Mais avec grand plaisir.
Intervenant 1
On se retrouve très vite pour un prochain décryptage. À très bientôt !
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