Cinq, six ou sept couleurs pour tous les points du plan ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on fait une plongée au cœur de sources vraiment fascinantes. On a des archives mathématiques des années 50, des publications super récentes. Et on va décortiquer un casse-tête géométrique qui a l'air, à première vue, complètement inoffensif.

Intervenant 20:19

Oui, bonjour à l'heure. Alors, la mission du jour, en fait, c'est un problème qui a été posé en 1950 par l'américain Edward Nelson. Et ça tient en une seule règle absolue.

Intervenant 10:31

Une seule règle, c'est ça. Genre, imaginez une feuille de papier infinie.

Intervenant 20:34

Et sans aucun bord.

Intervenant 10:36

Voilà, totalement infinie.

Intervenant 20:37

Et donc, il faut colorier chaque point de cette surface. Mais la contrainte, c'est que deux points qui sont séparés d'exactement, on va dire, un centimètre, doivent toujours, je dis bien toujours, être de couleurs différentes.

Intervenant 10:49

Dit comme ça, honnêtement, ça a l'air simple, mais bon, on va vite voir pourquoi nos notes qualifient ça de labyrinthe infernal. Parce que si je prends juste deux feutres, disons un rouge et un bleu.

Intervenant 21:03

D'accord.

Intervenant 11:04

Et je dessine un triangle équilatéral sur ma feuille avec chaque côté qui fait exactement un centimètre.

Intervenant 21:11

Un triangle géométrique classique.

Intervenant 11:13

C'est ça. Donc le premier sommet, je le mets en rouge, le deuxième en bleu.

Intervenant 21:19

Et le troisième alors ?

Intervenant 11:20

Bah, je suis coincée. Il est à la fois à un centimètre du rouge et du bleu, donc il me faut obligatoirement une troisième couleur.

Intervenant 21:26

Ah ! La logique est imparable. La géométrie de base nous impose déjà trois couleurs

Intervenant 11:31

minimum. Mais c'est là que notre intuition commence un peu à nous jouer des tours en fait.

Intervenant 21:36

C'est-à-dire ? Parce que même avec trois couleurs, le système finit par craquer. C'est ce qu'illustre une de nos sources historiques clés, le fameux graphe de Mauser.

Intervenant 11:45

Ah oui, j'ai vu ce schéma dans les notes. Ça ressemble à un losange un peu complexe.

Intervenant 21:50

C'est ça.

Intervenant 11:51

Mais comment un simple dessin peut nous forcer à utiliser une quatrième couleur en fait ?

Intervenant 21:55

Alors, imaginez deux losanges distincts. Chacun est fait de deux triangles équilatéraux collés ensemble.

Intervenant 12:02

Ok, je visualise.

Intervenant 22:03

Leurs côtés mesurent tous un centimètre. Et là, vous attachez ces deux losanges par un sommet commun.

Intervenant 12:09

D'accord.

Intervenant 22:10

Ensuite, vous faites pivoter l'un d'eux. Juste assez pour que deux autres sommets opposés se retrouvent très exactement à un centimètre l'un de l'autre. Et là, vous les reliez.

Intervenant 12:19

Ah, je vois la manœuvre. En fait, en les imbriquant et en les tournant avec cette contrainte stricte de distance, on crée un réseau fermé.

Intervenant 22:27

C'est exactement ça. C'est le piège parfait. En essayant de colorier cette structure spécifique, les rotations vous amènent inexorablement à une contradiction.

Intervenant 12:36

Genre rond tournant rond quoi.

Intervenant 22:37

Littéralement. Le jeu de déduction vous force à donner la même couleur à deux points qui sont pourtant reliés par ce fameux segment de 1 cm. Mince ! Donc la structure elle-même engendre une collision mathématique. Il nous faut donc au moins quatre couleurs pour s'en sortir.

Intervenant 12:51

C'est fou. Mais le problème avec un plan infini, c'est que j'ai l'impression que le nombre de couleurs pourrait monter indéfiniment, je ne sais pas, cent couleurs, mille couleurs.

Intervenant 23:01

C'est la grande question.

Intervenant 13:02

Est-ce qu'on a une limite haute garantie dans la littérature mathématique ?

Intervenant 23:06

Alors oui. Heureusement, les mathématiciens ont prouvé que sept couleurs, ça suffit pour paver ce plan infini.

Intervenant 13:11

Sept couleurs, pas plus.

Intervenant 23:13

Pas plus. L'astuce, c'est d'arrêter de réfléchir point par point et de penser plutôt en surface. Imaginez qu'on recouvre notre plan d'un réseau d'hexagones réguliers.

Intervenant 13:24

Comme un immense nid d'abeilles, en fait.

Intervenant 23:26

Voilà.

Intervenant 13:27

D'accord. Mais à quelle échelle, du coup ?

Intervenant 23:30

Alors, le secret, il est vraiment dans leur taille. Il faut choisir des hexagones dont le diamètre maximal est très légèrement inférieur à un centimètre.

Intervenant 13:38

Ah, je comprends. De cette façon, si on prend n'importe quelle paire de points à l'intérieur d'un même hexagone, la distance sera toujours strictement inférieure à un centimètre.

Intervenant 23:48

Exactement.

Intervenant 13:49

Ok, donc la règle de Nelson n'est pas enfreinte. Je peux peindre tout l'intérieur de cet hexagone, en bleu par exemple.

Intervenant 23:55

Tout à fait. Et ensuite, on utilise nos sept couleurs différentes pour colorir l'ensemble de ces tuiles hexagonales selon un motif répétitif bien

Intervenant 14:03

précis.

Intervenant 24:04

Et ce motif garantit que deux hexagones de la même couleur seront toujours séparés par une sorte de zone tampon.

Intervenant 14:12

Pour les empêcher d'être à cette fameuse distance d'un centimètre.

Intervenant 24:15

C'est ça. Avec cette architecture, cette couleur, ça fonctionne à l'infini.

Intervenant 14:19

Ce qui crée une véritable zone d'ombre mathématique finalement. Parce que pendant des décennies, on est resté bloqué avec cette incertitude. La réponse parfaite, c'est soit quatre, soit cinq, soit six ou soit sept.

Intervenant 24:32

Et on a stagné là-dessus pendant soixante ans.

Intervenant 14:35

C'est dingue. Et là, on arrive à ce fameux article d'avril 2018. Aubrey de Grey ?

Intervenant 24:41

Oui, le biologiste.

Intervenant 14:42

C'est ça, un biologiste britannique qui travaille sur le vieillissement cellulaire à la base. Et lui, sur son temps libre, il prouve que quatre couleurs, ça ne suffit pas. Mais comment un amateur a pu débloquer ça là où les grands spécialistes pataugeaient depuis des décennies ?

Intervenant 24:58

Eh bien, par une approche correctement différente. Par la force brute informatisée. Là où les mathématiciens cherchaient la beauté, une preuve élégante sur papier.

Intervenant 15:08

Comme le graphe de Mauser avec ses petits losanges, là.

Intervenant 25:10

Exactement. De Grey, lui, il a programmé un algorithme pour assembler un graphe absolument monstrueux. On parle d'une structure de plus de 20 000 sommets.

Intervenant 15:20

Attendez, vingt mille points, tous connectés par des distances exactes de un centimètre.

Intervenant 25:26

Oui, c'est vertigineux. Il a tissé une toile de contrainte tellement dense, tellement imbriquée, que l'ordinateur qui essayait de la colorier avec seulement quatre couleurs finissait toujours par planter.

Intervenant 15:37

Oh, waouh !

Intervenant 25:38

Impossible de résoudre le labyrinthe sans briser la règle.

Intervenant 15:42

La communauté académique a d'ailleurs ensuite repassé ce code au crible pour enlever les connexions redondantes.

Intervenant 25:46

D'accord. Ils ont réussi à simplifier cette preuve à environ 800 sommets.

Intervenant 15:51

C'est quand même fou d'avoir besoin d'une telle machinerie pour une règle aussi basique au départ.

Intervenant 25:56

Oui, c'est paradoxal.

Intervenant 15:58

Mais au fait, pourquoi est-ce qu'on s'acharne sur cette feuille de papier infini ? À quoi ça sert concrètement en dehors de la pure théorie ?

Intervenant 26:05

Alors en fait, c'est fondamental pour des applications technologiques très réelles de notre quotidien. Pensez par exemple aux antennes relais de nos téléphones portables.

Intervenant 16:12

Ah oui, les histoires de brouillage et de fréquences.

Intervenant 26:14

Exactement, on doit leur attribuer des fréquences. Et ces fréquences, on peut complètement les assimiler à nos fameuses couleurs.

Intervenant 16:21

D'accord, pour éviter les interférences.

Intervenant 26:22

Voilà. Si deux antennes sont trop proches et partagent la même fréquence, la même couleur, eh bien, les appels coupent.

Intervenant 16:29

C'est la collision dont on parlait tout à l'heure avec le graphe de Mauser.

Intervenant 26:32

C'est exactement la même mécanique mathématique. Ce type de graphe sert aussi à optimiser les réseaux Wi-Fi dans des espaces très venses. Ou même à planifier des emplois du temps hyper complexes pour des universités entières, sans aucun conflit de salles.

Intervenant 16:47

Donc si je résume, on sait aujourd'hui grâce à De Grey qu'il faut cinq, six ou sept couleurs pour colorier l'infini, mais le chiffre exact reste toujours mystérieux.

Intervenant 26:56

Et c'est justement ce qui nous laisse sur une réflexion assez vertigineuse sur l'avenir de la science.

Intervenant 17:01

C'est clair.

Intervenant 27:01

Pendant des millénaires, les mathématiques ont avancé grâce à des éclairs de génie humain.

Intervenant 17:05

Des intuitions qu'on pouvait presque dessiner sur le

Intervenant 27:07

sable. Mais avec ce graphe gigantesque, on bascule vraiment dans un autre paradigme.

Intervenant 17:13

Ouais, on peut se demander si la solution finale, ce fameux chiffre magique, est-ce qu'il émergera d'une épiphanie humaine classique ?

Intervenant 27:20

Ou alors, est-ce que les mathématiques sont désormais condamnées à dépendre de l'intelligence artificielle ?

Intervenant 17:26

Pour résoudre des labyrinthes logiques que notre propre cerveau ne peut tout simplement plus visualiser, en fait.

Intervenant 27:32

C'est une excellente question à se poser, en repensant à ce simple problème de coloriage.