Carrés manquants : où se cache le carré de trop ?

Intervenant 10:00

C'est le podcast du magazine Tangente. Bienvenue à toutes et à tous pour cette nouvelle exploration Anctine.

Intervenant 20:05

Salut Herve !

Intervenant 10:06

Et préparez-vous parce qu'aujourd'hui on va un peu retourner nos cerveaux.

Intervenant 20:10

Ouais, c'est clair. En fait, imaginons une seconde la situation suivante. On prend une simple feuille de papier quadrillé, tout ce qu'il y a de plus banal. On la découpe en quatre morceaux bien précis. On mélange ces morceaux, on les réassemble pour former une toute nouvelle figure. Sauf que, surprise, sans avoir ajouté la moindre miette de papier, la nouvelle figure est plus grande que la première.

Intervenant 10:39

C'est dingue. On vient en apparence de créer de la matière à partir de rien du tout.

Intervenant 20:46

Exactement. Et c'est tout l'objet de l'article de Tangente sur lequel on se base aujourd'hui.

Intervenant 10:50

Oui, l'objectif de notre exploration, c'est vraiment de comprendre comment la géométrie la plus basique, celle qui demande juste une règle et des ciseaux, peut littéralement pirater notre cerveau.

Intervenant 21:03

Sans utiliser des concepts hyper abstraits comme l'infini, en plus.

Intervenant 11:06

Voilà, bon, décortiquons un peu tout ça car il doit bien y avoir un truc.

Intervenant 21:10

Et le truc, comme très souvent en géométrie, il se cache dans la faille microscopique entre ce que l'œil humain croit voir et ce qui existe vraiment sur le plan physique.

Intervenant 11:20

Donc c'est une illusion d'optique en fait.

Intervenant 21:22

C'est plus profond que ça. Ce voyage est fascinant parce qu'il nous ramène vraiment aux limites de notre perception spatiale.

Intervenant 11:28

Pour bien comprendre, il faut qu'on pose les bases. On va commencer par visualiser le problème classique du carré fantôme.

Intervenant 21:35

Ouais, le grand classique.

Intervenant 11:36

Donc imaginons un échiquier, juste un quadrillage de 8 petits carrés sur 8.

Intervenant 21:41

Ce qui nous donne un total de 64 petits carrés unitaires.

Intervenant 11:46

Indiscutable. Ensuite, on passe au découpage. On trace des lignes obliques très précises sur cet échiquier pour le diviser en quatre pièces.

Intervenant 21:54

Pour être exact, on a deux grands triangles rectangles et deux trapèzes.

Intervenant 11:59

C'est ça. On prend nos ciseaux, on coupe et on se retrouve avec nos quatre morceaux. Et c'est là que la réalité bug un peu.

Intervenant 22:06

Ouais.

Intervenant 12:07

On réassemble ces quatre mêmes pièces comme un puzzle, mais pour former un grand rectangle cette fois.

Intervenant 22:12

Visuellement, les bords s'alignent parfaitement, les angles ont l'air bien droits.

Intervenant 12:15

Ouais, on a vraiment un rectangle parfait sous les yeux. Sauf que, si on compte les carrés sur ce nouveau rectangle, on en trouve 5 sur la largeur et 13 sur la longueur.

Intervenant 22:26

Et là, la magie opère.

Intervenant 12:27

Bah oui, 5 x 13, ça fait 65. 65 carrés. C'est comme le tour du lapin dans le chapeau, mais avec de la géométrie plane.

Intervenant 22:35

C'est une super analogie.

Intervenant 12:37

Mais la matière, elle ne peut pas se créer instantanément, on est m'accord. Alors, d'où sort ce 65ème carré ? Ce

Intervenant 22:43

qui est fascinant ici, c'est que la réponse ne réside pas dans la magie. Elle est dans une imperfection matérielle que notre cerveau refuse tout simplement de traiter. En fait, pour comprendre d'où sort ce carré, il faut regarder la grande diagonale qui traverse ce fameux rectangle de 5 par

Intervenant 12:59

13.

Intervenant 23:01

Si on fait glisser les deux triangles contre les deux trapèzes le long de cette diagonale, on a l'impression qu'ils s'emboîtent parfaitement.

Intervenant 13:07

Bah ouais, l'œil voit une ligne droite, continue quoi.

Intervenant 23:09

Sauf que mathématiquement, ce n'est pas une ligne droite. Attends, comment ça ? C'est là qu'est le secret. Si on calcule la pente des triangles et celle des trapèzes, elles sont très légèrement différentes. L'une est de 3 sur 8, l'autre de 2 sur 5.

Intervenant 13:24

Donc elles ne sont pas exactement parallèles.

Intervenant 23:26

Exactement. Les bords de ces figures ne s'alignent pas avec une perfection absolue. En réalité, ils s'écartent un tout petit peu et ça forme un vide. Un

Intervenant 13:33

vide ?

Intervenant 23:34

Oui. Il reste un minuscule interstice, un trou en forme de parallélogramme qui est étiré tout le long de la diagonale.

Intervenant 13:41

Attends, attends. Un espace vide étiré sur toute la longueur ? Mais quand on regarde le dessin dans l'article de Tangente, on ne voit aucun vide.

Intervenant 23:49

C'est normal.

Intervenant 13:50

Le rectangle a l'air plein à 100%.

Intervenant 23:52

Parce que ce vide est d'une finesse extrême. Et surtout, l'épaisseur du trait de crayon sur le papier suffit à le masquer complètement.

Intervenant 13:59

Ah ouais, le trait de crayon.

Intervenant 24:00

Le trait de graphite a une largeur physique, matérielle, qui vient combler visuellement ce vide. Notre œil est dupé par l'épaisseur d'un simple trait face à une vérité géométrique implacable.

Intervenant 14:11

C'est incroyable.

Intervenant 24:12

Et le plus beau, c'est que la surface totale de cet interstice invisible équivaut très exactement à la surface de ce 65e carré mystère. Je suis bluffée.

Intervenant 14:23

On n'a pas créé de matière, on a juste pris un espace vide de la taille d'un carré, on l'a étiré comme un vieux chewing-gum le long de la diagonale et on l'a caché sous un coup de crayon.

Intervenant 24:31

C'est exactement ça. Le cerveau recompose l'image et paf, illusion parfaite.

Intervenant 14:36

Mais du coup, ça m'amène à une vraie question historique. On a affaire à un casse-tête qui repose sur les limites physiques d'un trait de crayon. Qui a bien pu être assez tordu pour inventer un truc pareil ?

Intervenant 24:44

Ah, la question de la paternité, c'est une vraie querelle d'égo. Ça se passe à la fin du 19e siècle, vraiment l'âge d'or des casse-têtes.

Intervenant 14:51

Dans les salons victoriens et tout ça.

Intervenant 24:53

Ouais, on adorait se réunir pour résoudre des énigmes.