Calculateurs prodiges : deux chemins vers une racine

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on plonge dans un article fascinant sur les calculateurs prodiges. Parce que calculer mentalement la racine carrée d'un nombre à 80 chiffres, ça parlait déjà totalement hors de portée pour un cerveau humain.

Intervenant 20:14

Ouais, c'est clair, c'est vertigineux.

Intervenant 10:16

Mais le plus dingue, c'est que si on prend un monstre mathématique de 7000 chiffres et qu'on doit extraire sa racine 1799, la logique voudrait que ce deuxième défi soit infiniment plus complexe. Sauf que, selon les travaux du mathématicien Jean-Paul Delahaye, c'est tout l'inverse.

Intervenant 20:32

Bah oui, c'est un phénomène assez fou en fait. Historiquement, les calculateurs prodiges se sont d'ailleurs beaucoup plus illustrés sur ces racines extrêmes. Au XVIIe siècle par exemple, on a John Wallis qui arrivait à extraire de tête des racines sur des nombres de 55 chiffres

Intervenant 10:46

quoi. Attends, 55 chiffres ? Mais c'est profondément contre-intuitif. Est-ce que, je sais pas, c'est comparable à essayer de trouver le code d'un cadenas géant ?

Intervenant 20:55

Comment ça ?

Intervenant 10:56

Genre, un cadenas pour une racine carrée aurait une infinité de petits crans, ce qui rend les possibilités énormes. Mais pour une racine 1789ème, c'est comme si l'écran bondissait par trains gigantesques. Donc les réponses entières qui tombent justes sont finalement très rares, non ?

Intervenant 21:10

Exactement, c'est tout à fait ça. C'est une sorte d'effet d'entonnoir géométrique. Quand on élève un nombre, même un tout petit nombre, à la puissance 1789, le résultat, il explose de façon colossale.

Intervenant 11:20

Donc la cible est plus grosse, d'une certaine manière.

Intervenant 21:22

C'est plutôt que, si on fait le chemin inverse sur un nombre de 7000 chiffres, il y a mathématiquement très peu d'entiers qui peuvent correspondre. La zone de recherche se réduit drastiquement par rapport à une racine carrée classique où là, les possibilités grouillent.

Intervenant 11:38

D'accord, l'entonnoir simplifie la cible, mais enfin, il faut quand même l'atteindre. Et quand on n'a pas cette espèce de réduction magique des possibilités, comment ils font ? Parce que trouver une simple racine carrée sans calculatrice, ça demande de traiter des opérations à une vitesse folle.

Intervenant 21:54

Ouais, alors il y a plusieurs approches, mais l'une des plus redoutables, c'est la fameuse méthode de Newton. Prenons un exemple classique, calculer la racine carrée de 3. L'astuce algorithmique, c'est pas de deviner juste du premier coup, mais d'utiliser une moyenne pour corriger son erreur initiale.

Intervenant 12:11

Une moyenne ? Mais attends, du coup on prend juste une estimation au hasard et l'algorithme la réajuste toute seule ?

Intervenant 22:19

C'est ça, le principe est là. On part d'une valeur au hasard, disons 1. On divise notre cible, qui est 3, par 1. Bah, ça donne 3.

Intervenant 12:28

Ok, très

Intervenant 22:29

logique. Ensuite, on fait simplement la moyenne entre notre point de départ, donc 1, et ce résultat de 3. La moyenne, c'est 2. Et là, on répète le processus. 3 divisé par 2, ça donne 1,5. Puis, la moyenne entre 2 et 1,5 donne 1,75.

Intervenant 12:45

Un joua. La boucle sourcère en fait. Et à chaque nouvelle itération, on se rapproche inexorablement de la vraie valeur.

Intervenant 22:53

Tout à fait. Et avec une convergence foudroyante. Dès l'étape suivante, le calcul mental tombe sur 1,7321. Et au troisième tour de boucle, l'algorithme offre déjà 7 décimales exactes.

Intervenant 13:06

7 décimales ? Juste avec des petites moyennes de tête ?

Intervenant 23:09

Voilà, on arrive à 1,7305081 très très vite.

Intervenant 13:14

La mécanique est brillante, ouais. Mais bon, ça demande une rigueur d'ordinateur. Faut perdre aucune décimale en cours de route. Ces prodiges, ils étaient quand même pas tous des machines algorithmiques froides et hyper structurées. Il devait bien exister des esprits un peu plus instinctifs.

Intervenant 23:31

Ah bah complètement ! Le prodigieux italien Giacomo Inaudi en est un exemple parfait. Lui, entre la fin du XIXe et le milieu du XXe siècle, il s'encombrait absolument pas de la méthode de Newton. Ah

Intervenant 13:43

bon ? Il faisait comment alors ?

Intervenant 23:45

Son approche, c'était le tâtonnement frénétique. Vraiment une force brute mathématique, mais appuyée sur une mémoire hors norme.

Intervenant 13:52

Le tâtonnement, mais sur des nombres immenses. Enfin, s'il faut tester chaque possibilité une par une, il faudrait des jours entiers pour tomber sur la bonne réponse.

Intervenant 24:02

Pas quand on maîtrise ses tables de carrés sur le bout des doigts. Prenons un exemple réel. S'il cherchait la racine carrée de 215 267 584, il encadrait d'abord grossièrement le nombre.

Intervenant 14:14

Il cherchait l'ordre de grandeur quoi.

Intervenant 24:17

C'est ça. Il repérait immédiatement que le résultat flottait entre 14 000 et 15 000. Ensuite, il resserrait son propre filet. Il testait 14 600 puis 14 650. Oh, c'est

Intervenant 14:27

fou. C'est exactement l'équivalent de jouer au jeu du plus grand, plus petit, mais en calculant l'écart de tête à chaque fois pour orienter son prochain tir mental.

Intervenant 24:35

Voilà, et à une cadence infernale. Il testait 14 670 puis 14 670. A chaque essai, son cerveau élevait le nombre carré instantanément et il soustrayait la valeur cible pour voir l'écart.

Intervenant 14:47

Jusqu'à tomber net dessus.

Intervenant 24:49

Exactement. Sans aucune erreur, il tombait sur 14 672.

Intervenant 14:53

Ce qui est saisissant, c'est que, qu'on parle de l'algorithme hyper chirurgical de Newton ou de l'assaut par encadrement d'inadi, tout repose sur une seule et même fondation.

Intervenant 25:02

Oui, le socle invisible de la multiplication et de l'addition élémentaire. Sans une maîtrise foudroyante de cette arithmétique de base, aucune des deux méthodes n'est humainement praticable.

Intervenant 15:13

Ce qui laisse vraiment une sacrée question en suspens pour clôturer cette plongée. Si l'architecture neuronale humaine peut structurer mentalement des itérations aussi précises ou même simuler des millions de vérifications par essais-erreurs à cette vitesse fulgurante, quelles autres capacités de traitement dorment encore, inexploitées dans nos propres cerveaux ?

Intervenant 25:33

Des capacités qui attendent simplement la bonne méthode pour s'activer, oui. C'est vertigineux.

Intervenant 15:38

C'est le mot, mais bien c'est la sienne de cette exploration pour aujourd'hui. À très bientôt pour décrypter ensemble de nouveaux mystères mathématiques.