Alhambra : l’enquête sur ses 17 types de symétrie

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une exploration un peu spéciale. On va voir comment des artisans du 14e siècle ont résolu un problème géométrique tellement complexe qu'il a fallu presque 500 ans aux mathématiciens modernes pour le rattraper.

Intervenant 20:18

Oui, et c'est vraiment une plongée dans les sources fascinantes. Notre destination pour cette analyse, c'est l'Andalousie. Et plus précisément, le palais de l'Alhambra à Grenade.

Intervenant 10:27

Voilà. Et quand on regarde nos documents, on se rend vite compte que cette forteresse, qui a été construite principalement sous les rois Youssouf Ier et Mohamed V Alghani, c'est pas juste un beau bâtiment.

Intervenant 20:38

Ah non, pas du tout. En fait, c'est un véritable manuel de mathématiques à ciel ouvert.

Intervenant 10:43

C'est ça. Mais avant même de parler de géométrie, il faut que j'avoue un truc. Ma première connexion avec l'Alhambra, elle a toujours été musicale.

Intervenant 20:51

Ah oui ?

Intervenant 10:51

Ouais, complètement. Si on me parle de ce palais, j'entends tout de suite les premières notes des souvenirs de l'Alhambra. Vous savez, cette fameuse pièce pour guitare classique de l'espagnol Francesco Tarrega.

Intervenant 21:01

Ah oui, bien sûr, c'est un grand classique.

Intervenant 11:03

Surtout quand elle est jouée par Alexandre Lagoya, par exemple. C'est une étude en trémolos, c'est extrêmement romantique, très fluide. Quand on écoute ça, on a vraiment l'impression sonore de l'eau qui coule dans les fontaines du palais, vous voyez ?

Intervenant 21:16

C'est une très belle image. Et c'est vrai que la musique capte parfaitement cette idée de fluidité. Mais ce qui est vraiment captivant quand on épluche les recherches scientifiques sur ce lieu, c'est le contraste total avec cette approche un peu romantique. C'est-à-dire ? Là où le musicien entend une mélodie qui ondule, le mathématicien, lui, il perçoit une structure d'une rigidité et d'une précision absolue. D'accord,

Intervenant 11:41

donc on est loin de la poésie de l'eau qui coule, quoi.

Intervenant 21:44

Exactement. Les murs de l'Alhambra cachent en fait une énigme vertigineuse sur l'infini, sur la symétrie. Et ça soulève un paradoxe temporel qui a littéralement déclenché une controverse scientifique acharnée pendant près d'un siècle.

Intervenant 11:59

Et c'est justement cette querelle d'experts qui m'a donné envie qu'on analyse ces documents aujourd'hui. Mais avant de plonger là-dedans, je crois qu'il faut qu'on éclaire un peu notre lanterne sur les termes techniques.

Intervenant 22:11

Oui, c'est indispensable.

Intervenant 12:12

Parce que si on veut comprendre ce que ces artisans andalous ont anticipé, il faut définir le concept de base. Nos sources parlent des 17 groupes de papier peint.

Intervenant 22:22

Oui, c'est le terme consacré.

Intervenant 12:23

Sauf que bon, dit comme ça, ça fait penser à de la décoration d'intérieur pour un salon des années 70. Mais je me doute que mathématiquement, c'est beaucoup plus lourd que ça.

Intervenant 22:32

C'est le moins qu'on puisse dire, ouais. Le terme un peu plus académique, ce serait les groupes cristallographiques plans.

Intervenant 12:38

Ah oui, tout de suite, ça rigole moins.

Intervenant 22:40

Voilà. Mais pour faire simple, un groupe de papier peint, c'est l'ensemble des symétries d'un motif en deux dimensions qui se répètent.

Intervenant 12:47

D'accord.

Intervenant 22:48

C'est vraiment une structure algébrique précise qui permet, par des translations dans deux directions qui ne sont pas parallèles, de paver un plan jusqu'à l'infini.

Intervenant 12:56

Ok.

Intervenant 22:57

Et le tout sans jamais laisser le moindre trou et sans jamais que les motifs ne se chevauchent.

Intervenant 13:02

Laissez-moi essayer de visualiser la chose pour être sûr de bien comprendre.

Intervenant 23:05

Allez-y.

Intervenant 13:06

Imaginez que vous avez pour mission de carreler le sol d'une salle de bain, mais une salle de bain qui s'étendrait à l'infini.

Intervenant 23:12

D'accord.

Intervenant 13:12

Et pour faire ça, vous n'avez qu'un seul type de tampon-encreur avec un motif dessus. Un groupe de papier peint, du coup. Ce seraient les règles très strictes, genre les glissements, les rotations, les reflets dans un miroir, qui vous permettent d'appliquer ce tampon partout. Et de façon parfaitement régulière, pour que le sol entier soit recouvert sans aucune rupture du motif.

Intervenant 23:33

C'est bien ça, ouais.

Intervenant 13:34

C'est une excellente traduction visuelle, ouais.

Intervenant 23:35

Vous avez mentionné les reflets, les rotations, les glissements. Oui. En mathématiques, c'est ce qu'on appelle des isométries, c'est-à-dire des transformations qui conservent les distances.

Intervenant 13:45

D'accord, je vois.

Intervenant 23:46

Et ce qui rend cette théorie absolument dingue, c'est la contrainte de l'espace plat. L'espace bidimensionnel est tellement rigide, mathématiquement parlant, qu'il n'offre pas une infinité de façons de combiner ses règles.

Intervenant 13:58

Ah bon ? Hein ?

Intervenant 23:59

Non, en fait, il n'en existe que 17.

Intervenant 14:01

Attendez, je vous arrête tout de suite. 17 ?

Intervenant 24:04

Oui, 17.

Intervenant 14:05

Pas 16, pas 18. Vous êtes en train de me dire qu'il y a une limite finie et absolue à la créativité géométrique sur une surface plane ?

Intervenant 24:14

Sur le plan de la structure mathématique, oui, absolument. C'est fou ! En fait, vous pouvez dessiner le motif que vous voulez à l'intérieur de la forme de bave. Ça peut être un oiseau, une étoile, une fleur, peu importe. Mais la manière dont ce motif va se répéter et s'agencer avec ses voisins, ça obéit strictement à l'une de ses 17 lois mathématiques fondamentales. Il n'y en a pas une seule de plus.

Intervenant 14:35

C'est vertigineux de se dire que l'infini est encadré par seulement 17 règles.

Intervenant 24:39

C'est la magie de la géométrie.

Intervenant 14:41

Mais du coup, à quel moment l'humanité a réussi à prouver formellement cette limite ? Parce que j'imagine que pour démontrer un truc pareil, ça demande un outillage mathématique assez costaud, non ?

Intervenant 24:50

C'est un résultat très complexe qui date seulement de la fin du XIXe siècle. D'accord.