23 janv. 2019 · 5 min
2019 en maths : combien de visages pour un seul nombre ?
L’épisode audio explore 2019 par des exemples concrets : opérations entre chiffres consécutifs, puissances et carrés de chiffres répétés pour atteindre 1.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on plonge dans nos sources pour une analyse un peu surprenante autour de l'année 2019.
Intervenant 2
Bonjour. Et oui, 2019, ce n'est pas juste une année civile, pré-pandémie, tout à fait banale.
Intervenant 1
Ben oui, on a tendance à la voir comme une simple date au calendrier. Mais pour un œil averti, c'est un vrai terrain de jeu mathématique en fait. Plein de palindromes cachés et de séquences assez dingues.
Intervenant 2
Exactement. Les mathématiciens ont cette fâcheuse tendance à transformer n'importe quel nombre en énigme et 2019 s'y prête super bien.
Intervenant 1
Alors justement, avant d'aller le chercher à l'état sauvage, regardons comment on peut le fabriquer artificiellement. On a ce dossier sur Alain Zalmanski, qui s'amuse à reconstruire 2019 avec le moins de chiffres possible.
Intervenant 2
Ouais, il s'est donné une contrainte assez stricte, utiliser uniquement les chiffres de 1 à 6 dans l'ordre.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Et en jouant simplement avec des opérations de base, comme des additions et quelques factoriels, il retombe exactement sur 2019.
Intervenant 1
Ah ouais, c'est fort.
Intervenant 2
Et plus amusant encore, si on change de système de comptage pour passer en base 19, le nombre s'écrit 5B5.
Intervenant 1
Oh, génial !
Intervenant 2
Du coup, ça devient un palindrome absolu et lisible dans les deux sens.
Intervenant 1
C'est très visuel. Il y a aussi l'approche de François Lavalliou dans nos documents. Lui, il utilise des séries de nombres consécutifs allant de 1 jusqu'à 10, qu'il met au carré ou au cube.
Intervenant 2
Oui, tout en alternant systématiquement les signes d'addition et de soustraction.
Intervenant 1
C'est ça. En lisant ça, je me disais que d'un point de vue extérieur, le fait d'ajuster ces signes, c'est exactement comme accorder un instrument de musique.
Intervenant 2
C'est une super comparaison.
Intervenant 1
Tu changes un seul plus en moins et toute l'harmonie de l'équation s'effondre quoi. Il faut vraiment la combinaison parfaite pour faire résonner la note 2019.
Intervenant 2
L'analogie musicale illustre vraiment bien le concept, donc on peut forcer le nombre à apparaître en manipulant l'harmonie des équations.
Intervenant 1
Ouais.
Intervenant 2
Mais on peut se demander si 2019 se manifeste de façon purement chaotique sans qu'on l'ait invité.
Intervenant 1
Justement, en parlant d'apparition spontanée, le dossier mentionne une anecdote de Michael Launay sur le nombre pi. La séquence exacte 2 0 1 9 y fait son apparition étonnamment tôt en fait, entre la 243ème et la 246ème décimale.
Intervenant 2
Ce qui est mathématiquement parlant très proche de la virgule.
Intervenant 1
C'est clair. Et l'intérêt, c'est que toute cette séquence tenait dans un seul petit tweet sur les réseaux sociaux. C'était le prétexte idéal pour vulgariser l'infinité de Pi.
Intervenant 2
Surtout quand on compare avec l'année suivante.
Intervenant 1
Ah oui, pour voir 2020, il faut attendre la 7285ème décimale. Faut scroller longtemps.
Intervenant 2
C'est sûr. Et d'ailleurs, le bulletin de la PMEP classe 2019 parmi les nombres dits heureux.
Intervenant 1
Ah, les fameux nombres... Attends, si je comprends bien le mécanisme, c'est presque un tour de magie. On prend les chiffres 2, 0, 1 et 9, on les met au carré et on les additionne.
Intervenant 2
Voilà.
Intervenant 1
Ensuite, on répète cette même opération avec le nouveau résultat. Et si on continue, on finit inévitablement par tomber sur le chiffre 1.
Intervenant 2
C'est exactement le principe. Une boucle arithmétique qui finit par se stabiliser sur l'unité. D'où cette belle appellation de nombre heureux.
Intervenant 1
Au-delà de ces petites curiosités amusantes, l'analyse montre aussi des défis d'une rigueur redoutable. Jean-Louis Legrand rapporte qu'il a été prouvé que le nombre 17 élevé à la puissance 2019 moins 16 est un nombre premier.
Intervenant 2
C'est un exploit monumental ça !
Intervenant 1
Et la précision qui tue, c'est que la démonstration s'est faite sans aucun ordinateur.
Intervenant 2
Faut savoir que 2019 n'est que le sixième entier connu à posséder cette propriété précise. C'est pas rien.
Intervenant 1
Ok, alors là je t'arrête parce que je dois avouer mon incompréhension, je suis un peu perdue. 17 multiplié par lui-même 2019 fois, c'est un nombre gigantesque.
Intervenant 2
Ah oui, c'est immense.
Intervenant 1
Comment un cerveau humain peut traiter une énormité pareille sans machine ? Ça semble physiquement impossible.
Intervenant 2
En fait, au lieu de calculer le chiffre géant dans son entièreté, on utilise l'arythlatique modulaire ou les congruences. D'accord. C'est un peu comme regarder une horloge. On se moque de savoir combien d'heures se sont écoulées depuis la création de la montre. On veut juste savoir sur quel chiffre l'aiguille s'arrête à la fin.
Intervenant 1
Ah, je vois.
Intervenant 2
En mathématiques, ça permet de réduire le problème étape par étape pour trouver les restes des divisions. Du coup, on prouve que le résultat final est premier sans jamais avoir besoin d'écrire sa valeur totale.
Intervenant 1
L'esprit contourne donc la force brute par la pure logique. C'est d'une élégance qui frôle presque la création artistique, je trouve.
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
Les sources abordent d'ailleurs cette dimension esthétique avec un poème de Raphaël Douady et la fameuse ruche magique de Dominique Souder.
Intervenant 2
Oui, cette ruche magique, c'est une super application géométrique. Il s'agit d'un agencement d'hexagones où chaque intersection, lorsqu'on additionne les nombres qui l'entourent, totalise invariablement 2019. L'art y rencontre véritablement la rigueur spatiale.
Intervenant 1
C'est fascinant. Ce qu'il faut retenir de tout ça, je pense, c'est que la rigueur des maths permet de transformer une simple donnée temporelle qui est destinée à être oubliée en un vrai terrain d'exploration inépuisable.
Intervenant 2
Les nombres cachent toujours une structure fascinante pour peu qu'on prenne le temps de l'analyser.
Intervenant 1
Exactement. Et ça soulève une question intrigante pour terminer. Si une simple année, passée comme 2019, recèle une telle richesse d'énigmes, de palindromes et de nombreux heureux, quelle structure mathématique inattendue pourrait bien se cacher dans les chiffres de l'année en cours, attendant simplement d'être découverte ?
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