16 avr. 2020 · 6 min
Virettes de Lissajous : des striades peuvent suggérer du relief
Cet épisode audio suit les sommes de courbes de Lissajous qui forment les virettes, puis les striades pouvant parfois suggérer un effet de relief.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une plongée fascinante dans un article de Marcel Guéry. Ouais, un article
Intervenant 2
vraiment très visuel pour le coup.
Intervenant 1
C'est ça. On va explorer une frontière un peu spéciale, là où la rigueur des maths devient de l'art. On va décortiquer les virettes et les courbes de Lissajous. C'est un peu comme une chorégraphie, en fait, où de simples équations prennent vie à l'écran pour faire des figures assez hypnotiques.
Intervenant 2
Absolument. Et ce qui est intéressant, c'est que ce n'est pas de la magie. C'est une mécanique purement logique. Tout part des travaux d'un physicien français, Jules Lissajous, au 19e siècle.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Pour poser les bases sans jargon, imaginez un point qui se promère sur un écran.
Intervenant 1
OK.
Intervenant 2
Sa position horizontale est dictée par une onde et sa verticale par une autre onde. Ça utilise la fonction sinus. Et l'ADN de cette forme dépend juste de trois choses.
Intervenant 1
Lesquelles ?
Intervenant 2
La fréquence de la première onde qu'on appelle A, la fréquence de la seconde qu'on appelle B et enfin le déphasage.
Intervenant 1
Alors attendez, je vous arrête tout de suite sur ce dernier mot. Le déphasage, ça me perd un peu. Si j'ai un crayon en main pour tracer cette courbe physiquement, il se passe quoi ?
Intervenant 2
Imaginez deux balanciers d'horloges. Si vous les lancez exactement en même temps, ils sont parfaitement synchronisés.
Intervenant 1
OK, ils sont en phase,
Intervenant 2
quoi. Exactement. Le déphasage, c'est simplement l'action d'en retenir un et de le relâcher une fraction de seconde plus tard.
Intervenant 1
Ah, je vois.
Intervenant 2
Transposé au crayon, ça veut dire que le mouvement de gauche à droite commence avec un très léger retard temporel sur le mouvement au bas. Ça suffit à tordre et métamorphoser complètement la figure finale,
Intervenant 1
ouais. D'accord, je visualise bien le coup du balancier retardé. Mais du coup, pour nos deux fréquences A et B, si on s'amuse à les modifier, à quel point la géométrie est bouleversée ?
Intervenant 2
C'est là que la relation mathématique devient vraiment le chef d'orchestre. Si les deux fréquences sont identiques et bien synchronisées, votre point va tracer un cercle parfait.
Intervenant 1
Facile, ok.
Intervenant 2
Mais si vous accélérez l'une des ondes pour qu'elle batte, disons, deux fois plus vite que l'autre, tout bascule, le cercle s'effondre, et ça se transforme en une portion de parabole, ou en ce fameux chiffre 8 couché, le symbole de l'infini en physique.
Intervenant 1
L'esthétique est donc ultrasensible aux moindres changements. Mais si les combinaisons de nombres sont infinies, comment l'auteur fait pour classer tout ce bestiaire sans s'y noyer ?
Intervenant 2
En observant l'ossature des figures, leur symétrie. Marcel Guéry propose des mots très simples pour ça. Il regroupe d'un côté les tresses.
Intervenant 1
Les tresses.
Intervenant 2
Voilà. Ce sont des courbes fluides qui ont toujours deux axes de symétrie, comme le cercle ou le grand 8.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Et de l'autre côté, il identifie les cornes. Elles, elles sont beaucoup plus acérées, avec des points de rebroussement qui font des petits pics aigus.
Intervenant 1
Ah, comme la parabole qu'on disait tout à l'heure.
Intervenant 2
C'est ça. Et elle se contente d'un seul axe de symétrie.
Intervenant 1
Et j'ai vu dans l'article qu'il y a une règle arithmétique pour anticiper ça. Si on fixe le déphasage à zéro, tout dépend de la somme des fréquences, c'est ça ?
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
Si on additionne A et B et que le résultat est impair, ça fait une tresse. Mais si l'addition tombe sur un chiffre pair, on obtient une corne. Je trouve ça quand même élégant que l'allure d'un dessin dépend d'une simple question de parité.
Intervenant 2
C'est la beauté de la combinatoire. Une propriété binaire, comme pair ou impair, dicte une rupture visuelle totale. Et ça s'emballe vraiment quand on complexifie la formule.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
On passe de la monovirette, la courbe isolée, à la bivirette.
Intervenant 1
Ok.
Intervenant 2
Là, on additionne carrément deux courbes de lissajous distinctes, donc on ne gère plus deux, mais quatre fréquences en même
Intervenant 1
temps. Le principe de l'addition, je comprends, c'est comme en production musicale, on a une piste de voix et on superpose une ligne de base pour créer un morceau plus riche.
Intervenant 2
Ouais, l'analogie est bonne.
Intervenant 1
Mais visuellement, mon cerveau bloque un peu. Physiquement, comment on additionne deux formes l'une sur l'autre ?
Intervenant 2
Replongez dans vos souvenirs et pensez au jeu du spirographe.
Intervenant 1
Ah oui, avec les roues
Intervenant 2
dentées. Voilà. Vous avez une grande roue qui trace un vaste cercle, et à l'intérieur une petite roue qui tourne sur elle-même.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
La pointe du stylo trace la somme exacte de ces deux mouvements enchevêtrés. Et bien la bivyrette fonctionne sur ce principe. Et analyser les symétries de ces nouvelles figures imbriquées, c'est un redoutable défi.
Intervenant 1
J'imagine, ouais.
Intervenant 2
Mais la vraie prouesse, celle qui génère notre fameuse illusion de 3D, c'est ce que Guéret appelle la striade.
Intervenant 1
Comment on passe du tracé plat façon spirographe à un truc qui donne l'illusion parfaite du volume ?
Intervenant 2
Le secret n'est pas dans la courbe elle-même, c'est dans la façon de la tracer. Pour construire une striade, l'ordinateur prend un point précis sur la première courbe à un instant T et il va tirer un trait parfaitement droit pour le relier au point de la deuxième courbe à ce même instant T. Et il répète cette striure des dizaines de milliers de fois, à des intervalles minuscules.
Intervenant 1
Ah ! Donc en réalité, notre œil se fait totalement piagé par l'accumulation massive de petits segments.
Intervenant 2
Absolument. Le cerveau déteste le vide, donc il interprète cette densité de lignes très resserrée comme un effet d'ombre et de lumière.
Intervenant 1
C'est dingue !
Intervenant 2
Ça crée un relief 3D spectaculaire. Vous voyez émerger des tubes enroulés, des rubans plissés, à partir d'équations planes. C'est pour ça que la géométrie algémiques est si précieuse dans le design aujourd'hui.
Intervenant 1
Ce qui m'amène d'ailleurs à une réflexion assez vertigineuse pour clore cette plongée.
Intervenant 2
Je vous écoute.
Intervenant 1
Quand on réalise que de vieilles équations du XIXe siècle, avec de simples nombres entiers, suffisent à faire émerger des volumes aussi sophistiqués, on regarde l'art numérique autrement.
Intervenant 2
C'est clair.
Intervenant 1
Toutes ces œuvres générées par des intelligences artificielles qui inondent nos écrans, ça a l'air d'être de la magie. Mais au fond, est-ce qu'on ne serait pas simplement en train d'admirer des variantes gigantesques, invisibles à l'œil nu, de ces mêmes courbes de lissajous ?
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