23 août 2023 · 27 min
Ptolémée : l’inégalité qui contient Pythagore
Dans cet épisode, suivez les étapes qui transforment une inégalité entre distances en théorème du cercle, puis font apparaître Pythagore.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment un immense plaisir de partager cette nouvelle exploration intellectuelle avec toutes celles et ceux qui nous écoutent aujourd'hui.
Intervenant 2
Bonjour. Eh oui, le plaisir est complètement partagé, Sam. Je suis ravie d'être là.
Intervenant 1
Alors, imaginons un instant qu'on nous ait caché une vérité fondamentale pendant toute notre scolarité. Le célébrissime théorème de Pythagore.
Intervenant 2
Ah, la fameuse bête noire ou le meilleur ami des collégiens, ça dépend.
Intervenant 1
C'est ça. Cette formule incontournable des triangles rectangles qu'on a tous récité par cœur pour réussir nos examens de géométrie, eh bien, ça ne serait en réalité qu'un simple détail.
Intervenant 2
Un tout petit détail même.
Intervenant 1
Oui, un fragment minuscule d'une vérité beaucoup plus vaste et monumentale. Notre mission du jour, à travers l'analyse de nos sources, elle nous ramène directement au deuxième siècle de notre ère, dans la bouillonnante ville d'Alexandrie.
Intervenant 2
Une époque fascinante pour les sciences au passage.
Intervenant 1
Et c'est là qu'on part à la rencontre de Claude Ptolémée. C'était un géographe, un astronome, un mathématicien hors pair. Mais c'est surtout l'auteur d'un théorème sur les quadrilatères qui reste de façon assez injuste dans l'ombre.
Intervenant 2
C'est un point de départ qui est vraiment saisissant. Parce que si on demande à quelqu'un d'énumérer les grands théorèmes de l'Antiquité, Ptolémée n'arrive presque jamais en premier.
Intervenant 1
C'est vrai, on pense tout de suite à Thalès ou Pythagore.
Intervenant 2
Voilà. Pourtant, les textes que nous analysons aujourd'hui démontrent à quel point ces travaux constituent vraiment l'infrastructure même de la géométrie que nous utilisons encore. En fait, Pythagore n'est véritablement qu'une facette d'un diamant beaucoup plus gros qui a été taillé par Ptolémée.
Intervenant 1
Pour utiliser une analogie qui parlera sûrement à tout le monde, Pythagore, c'est la pop star internationale.
Intervenant 2
J'aime bien l'idée. La célébrité sous les projecteurs.
Intervenant 1
Exactement. C'est la célébrité qui prend toute la lumière sur scène, qui remplit les stades, dont on imprime le nom sur les t-shirts. Mais Ptolémée, C'est le génie de l'ombre.
Intervenant 2
Le producteur.
Intervenant 1
C'est ça, le producteur visionnaire, le compositeur qui a écrit la partition globale hyper complexe, celle-là même qui permet à la pop star de briller le temps d'un refrain.
Intervenant 2
La métaphore est redoutablement précise. Et l'objectif de cette exploration d'aujourd'hui, ce n'est absolument pas de dépoussiérer une vieille formule juste pour le plaisir de faire de l'histoire des sciences.
Intervenant 1
Non, on n'est pas là pour faire musée.
Intervenant 2
Exactement. Les documents d'aujourd'hui prouvent que cette mécanique mathématique imaginée à Alexandrie, c'est une véritable clé de voûte. Elle établit un pont complètement inattendu entre la géométrie classique qu'on trace dans le sable et le monde ultra abstrait des nombres complexes.
Intervenant 1
Ça, c'est le grand écart dont on va parler.
Intervenant 2
Et ce n'est pas tout. Elle vient percuter la légende du nombre d'or et elle offre même une porte de sortie inespérée pour des impasses mathématiques hyper redoutables du XXe siècle.
Intervenant 1
Avant de voyager à travers les siècles et les dimensions abstraites, j'ai besoin qu'on visualise la bête.
Intervenant 2
D'accord, on va essayer de dessiner ça mentalement.
Intervenant 1
Sur le papier, si on devait dessiner ce que Ptolémée a découvert, comment on s'y prendrait pour comprendre ce fameux moment où la pop star Pythagore se fait engloutir par le compositeur or ?
Intervenant 2
Il faut vraiment convoquer son imagination spatiale. On trace d'abord un grand cercle parfait. Ensuite, on vient placer quatre points complètement au hasard sur le contour de ce cercle.
Intervenant 1
N'importe où sur la ligne du cercle.
Intervenant 2
N'importe où. Et on relie ces quatre points par des lignes droites pour former une figure fermée à l'intérieur. Donc un quadrilatère. La seule contrainte absolue, en fait, c'est que les quatre coins doivent impérativement toucher le bord du cercle.
Intervenant 1
C'est ce qu'on appelle « inscriptible », je crois.
Intervenant 2
C'est ça, un quadrilatère inscriptible.
Intervenant 1
D'accord, l'image est claire. Donc ça peut ressembler à un cerf-volant un peu tordu ou à un trapèze asymétrique. Peu importe, tant que les quatre sommets sont fermement ancrés sur la circonférence. Ensuite, j'imagine qu'on trace les diagonales à l'intérieur ?
Intervenant 2
Oui, les diagonales qui relient les coins opposés.
Intervenant 1
Celle qui forme une espèce de grande croix au milieu ?
Intervenant 2
Exactement. Et c'est là que le génie de Ptolémée s'exprime. Son théorème établit une balance d'une précision diabolique, vraiment, entre l'intérieur et l'extérieur de cette figure. Il affirme que si on prend les longueurs de ces deux diagonales intérieures et qu'on les multiplie entre elles, on obtient un résultat fondamental.
Intervenant 1
Ok, donc la multiplication des deux lignes en croix.
Intervenant 2
Oui. Et ce résultat, c'est la stricte contrepartie des bords extérieurs de la figure.
Intervenant 1
Attendez, c'est-à-dire, comment on combine les bords extérieurs pour équilibrer la balance ? On les additionne juste ?
Intervenant 2
Non, c'est un peu plus subtil. C'est par une addition de multiplications croisées.
Intervenant 1
Oula, d'accord.
Intervenant 2
Je vous explique. On prend le côté du haut, qu'on multiplie par le côté du bas, son opposé direct. On garde ce premier chiffre. Ensuite, on prend le côté gauche, qu'on multiplie par le côté droit. On garde ce deuxième chiffre.
Intervenant 1
D'accord, je suis.
Intervenant 2
Et on additionne simplement ces deux résultats. Le miracle mathématique, c'est que cette somme des côtés opposés pèsera toujours invariablement exactement le même poids que la multiplication des deux diagonales.
Intervenant 1
Le produit des diagonales d'un côté de la balance, la somme des produits des côtés opposés de l'autre. C'est super élégant en fait.
Intervenant 2
Très élégant.
Intervenant 1
Mais à quel moment la célébrité entre en scène ? Comment on fait apparaître notre ami Pythagore là-dedans ?
Intervenant 2
Par une manipulation géométrique hyper simple. Reprenons notre grand cercle mental. Mais au lieu de dessiner un cerf-volant asymétrique, un peu aléatoire, on va y inscrire un rectangle.
Intervenant 1
Un rectangle parfait.
Intervenant 2
Oui, c'est une forme parfaite pour notre expérience, parce que les quatre coins d'un rectangle peuvent toujours s'inscrire parfaitement sur un cercle.
Intervenant 1
Je vois la Seine, un beau rectangle sagement enfermé dans son cercle. On a donc un côté gauche et un côté droit qui ont exactement la même hauteur, et un côté en haut et un côté en bas qui ont la même largeur.
Intervenant 2
Voilà. Et les deux diagonales qui traversent ce rectangle ont par nature une longueur qui est strictement identique. Appliquons la fameuse balance de Ptolémée à cette nouvelle figure.
Intervenant 1
Ok, alors-y.
Intervenant 2
Du premier côté de l'équation, on doit multiplier les diagonales entre elles. Puisqu'elles sont identiques, c'est simplement la longueur de la diagonale multipliée par elle-même.
Intervenant 1
Donc son carré.
Intervenant 2
Exact, son carré. Et de l'autre côté de la balance, nos côtés opposés, la hauteur de gauche multipliée par la hauteur de droite, ce qui nous donne le carré de la hauteur, auquel on ajoute la largeur du bas multipliée par la largeur du haut, donc le carré de la largeur.
Intervenant 1
Attendez, je rassemble le tout. Le carré de la diagonale est rigoureusement égal au carré de la hauteur plus le carré de la largeur. C'est ça. Mais c'est sidérant, c'est littéralement la définition du théorème de Pythagore, puisque la diagonale d'un rectangle, elle le coupe en deux triangles rectangles parfaitement jumeaux.
Intervenant 2
Vous l'avez.
Intervenant 1
La diagonale devient l'hypoténuse, et l'équation qu'on vient de formuler, c'est l'essence même de ce qu'on apprend au collège. L'hypoténuse au carré égale la somme des carrés des deux autres côtés. Donc, si je comprends bien la dynamique entre ces deux concepts, Pythagore exige une rigidité absolue, un angle droit inflexible, c'est ça ?
Intervenant 2
Complètement. C'est une condition très stricte.
Intervenant 1
Alors que Ptolémée nous dit qu'on peut relâcher cette pression, déformer la figure à volonté, du moment qu'on reste accroché au bord du cercle.
Intervenant 2
C'est une synthèse qui est brillante. Pythagore n'est en fait que l'instant très précis, presque figé, où notre figure mouvante se cristallise en un rectangle parfait. L'équation de Ptolémée, c'est le moteur universel, l'architecture globale du truc. On saisit vraiment ici pourquoi on peut considérer Pythagore comme un simple cas particulier d'une loi géométrique beaucoup plus vaste.
Intervenant 1
Cette révélation donne le vertige, mais elle soulève une question pratique assez évidente. Ptolémée a élaboré ça au deuxième siècle.
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