Des nombres parfaits à Riemann : la piste des diviseurs

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginez une seconde, sur l'infinité absolue des nombres entiers qui s'étirent dans l'univers de 1 jusqu'à la fin des temps, il existe une catégorie tellement élitiste, tellement spécifique, qu'elle ne compte que 449 membres.

Intervenant 20:17

Pas un de plus, c'est vraiment fascinant.

Intervenant 10:20

Oui, pas un de plus. Aujourd'hui, on embarque pour une exploration vertigineuse au cœur des mathématiques. D'habitude, la suite des nombres entiers, ça nous semble être une longue ligne droite, bien sage, un peu mécanique. Alors

Intervenant 20:33

qu'en fait, c'est tout

Intervenant 10:34

l'inverse. Exactement. En réalité, c'est une jungle touffue, sauvage, remplie d'espèces numériques étranges, avec des créatures colossales qui se cachent sous la surface de nos opérations les plus primaires. Je suis vraiment fascinée par ce sujet.

Intervenant 20:47

Et vous avez bien raison, parce que cette faune mathématique, elle a passionné les plus grands esprits de l'Histoire. Le but de notre voyage aujourd'hui, c'est de comprendre comment des savants de l'Antiquité ou même des génies plus récents comme Léonard Deler, Paul Erdős, ou encore l'incroyable mathématicien indien Srinivasa Ramanujan,

Intervenant 11:03

Des monstres sacrés quoi.

Intervenant 21:05

Voilà, des géants absolus. On va voir comment ils ont réussi à classifier ces nombres sauvages. Et la méthode qu'ils ont utilisée pour trier ces espèces, elle est redoutable d'élégance. Ils ne se sont pas focalisés sur les nombres eux-mêmes en fait.

Intervenant 11:17

D'accord, ils ont regardé quoi alors ?

Intervenant 21:18

Ils ont regardé leurs diviseurs. C'est en analysant ce qui compose un nombre qu'on révèle sa véritable nature.

Intervenant 11:24

L'approche est brillante. On va donc partir de concepts très simples, des bases posées dans la Grèce antique pour s'enfoncer de plus en plus profondément dans cette jungle. Pour ceux qui nous écoutent, on va croiser des nombres gigantesques, découvrir des paradoxes sémantiques assez comiques et surtout comprendre pourquoi ces bizarreries existent.

Intervenant 21:44

Tout un programme ?

Intervenant 11:46

N'est-ce pas ? Bon, pour commencer, il faut poser la règle du jeu. Le mathématicien grec Nicomac de Gérase a divisé les nombres en trois grandes familles en utilisant la notion de diviseur propre.

Intervenant 21:58

C'est la base de tout ça ?

Intervenant 11:59

Oui. Et pour que tout le monde ait bien l'image en tête, un diviseur propre, c'est tout simplement un nombre entier qui peut diviser un nombre de départ de façon parfaite, sans aucun reste, mais attention, en excluant le nombre lui-même, tout en incluant toujours le chiffre 1.

Intervenant 22:15

Prenons un exemple simple, le nombre 6. Si on le divise, on trouve qu'il est divisible par 1, par 2, par 3 et par 6. Ces diviseurs propres, ce sont donc 1, 2 et 3. On met le 6 de côté.

Intervenant 12:28

D'accord, on l'exclut.

Intervenant 22:30

C'est ça. La classification qui en découle repose sur une opération vraiment rudimentaire. On additionne ces diviseurs propres et on compare le résultat au nombre de départs.

Intervenant 12:40

En fait, c'est un peu comme si les diviseurs propres représentaient l'entourage direct d'un nombre. Les amis, proches, en quelque sorte. On va calculer la richesse totale de cet entourage en additionnant ce qu'il pèse.

Intervenant 22:51

J'aime beaucoup l'analogie.

Intervenant 12:52

Et du coup, si on reprend le nombre 6, son entourage c'est 1, 2 et 3. 1 plus 2 plus 3, eh bien cela donne 6. C'est l'équilibre absolu, non ?

Intervenant 23:02

Tout à fait. La richesse de l'entourage correspond exactement à la valeur du nombre. Et ce point d'équilibre parfait donne son nom à la première grande famille, ce qu'on appelle les nombres parfaits. Ils portent bien leur nom, ceux-là. Et ils sont d'une rareté extrême. Après 6, il faut chercher jusqu'à 28. Ces diviseurs propres sont 1, 2, 4, 7 et 14, dont la somme fait bien 28. Ensuite, le suivant, c'est 486, puis carrément 8128. Ça grimpe vite. Ah oui, très vite. Historiquement, c'est Léonard Euler qui a mis en lugaire la mécanique derrière ces nombreux paires. Au XVIIIe siècle, il a prouvé que tout nombre pair-pair est obligatoirement lié au fameux nombre premier de Mersenne. Vous savez, cette forme si spécifique, deux à la puissance d'un nombre premier moins un.

Intervenant 13:51

Une vraie mécanique de précision. Mais attendez, puisqu'on mentionne spécifiquement les nombres parfaits pairs, une question s'impose pour notre audience. Si certains nombres trouvent cet équilibre parfait en étant pairs, qu'en est-il des impairs ? La jungle doit bien cacher un nombre parfait impair quelque part, non ?

Intervenant 24:07

Eh bien figurez-vous que la traque de ce fantôme numérique, c'est l'un des plus grands mystères des mathématiques. La conjecture actuelle stipule qu'il n'y en a absolument aucun. Pas un seul dans toute l'infinité des entiers. Waouh.

Intervenant 14:20

Pas un seul.

Intervenant 24:22

C'est ce qu'on pense. Mais l'aspect vertigineux, c'est que les mathématiciens ont quand même réussi à dresser le portrait robot de cette créature, au cas où elle existerait. Si un nombre parfait impair se cache quelque part, on a pu prouver mathématiquement qu'il doit obligatoirement être supérieur à 10 puissance 1500.

Intervenant 14:37

Pardon, un suivi de 1500 zéros ?

Intervenant 24:41

Exactement ! Et ce n'est pas tout. Pour que l'addition de ces diviseurs tombe juste, sans l'aide du chiffre 2, ce nombre titanesque devrait posséder plus de 100 facteurs premiers différents.

Intervenant 14:52

C'est complètement fou ! Les mathématiques nous permettent de définir les contraintes physiques d'un objet dont on doute fortement de l'existence.

Intervenant 25:00

C'est toute la puissance de la pensée abstraite. Mais bon, ça, c'était l'élite absolue. Logiquement, si certains nombres ont un entourage parfaitement équilibré, la grande majorité doit pencher d'un côté ou de l'autre de la balance.

Intervenant 15:12

Oui, il doit y avoir des nombres dont l'entourage est bien plus pauvre qu'eux.

Intervenant 25:15

Voilà, ça, c'est la deuxième famille. Les nombres déficients. La somme de leurs diviseurs propres est strictement inférieure aux nombres. D'ailleurs, tous les nombres premiers entrent immédiatement dans cette catégorie puisque leur seul diviseur propre, c'est 1.

Intervenant 15:30

Oui, forcément. Mais l'erreur, ce serait de croire que seuls les nombres premiers sont déficients en ensemble.

Intervenant 25:34

Exactement. Les nombres 4, 8, 9, 10 ou 14 le sont aussi. Et en observant leur répartition à grand dégel, le mathématicien français Marc Delégis a prouvé en 1998 que la densité globale des nombres déficients dépasse les 75%.

Intervenant 15:51

Plus des trois quarts des nombres vivent avec un entourage plus pauvre qu'eux.

Intervenant 25:54

C'est ça.

Intervenant 15:56

Ce qui nous laisse une dernière part du gâteau, un peu moins de 25%. Pour la troisième famille, logiquement, ce sont les nombres abondants. Ceux dont l'entourage est plus riche.

Intervenant 26:05

Oui, les flambeurs de la jungle, en

Intervenant 16:07

quelque sorte. C'est ça. Si on liste les premiers représentants, on tombe sur 12, 18, 20, 24, 30... Et là, l'intuition crie à la règle