Suites récurrentes : une règle répétée peut-elle trouver une racine ?

Intervenant 10:00

Quand on appuie sur la touche racine carrée d'une calculatrice, la réponse s'affiche vraiment à la vitesse de la lumière. On pourrait croire que la machine possède, je ne sais pas, une immense bibliothèque de résultats en mémoire ou qu'elle connaît la réponse de base. Mais en fait, pas du tout. Elle utilise un très vieux secret mathématique qui consiste, pour faire super simple, à répéter la même petite erreur en boucle jusqu'à ce que cette erreur disparaisse complètement et laisse place à la perfection absolue. Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, nous entamons une plongée au cœur de nos sources absolument fascinantes. Ah oui, très fascinantes.

Intervenant 20:30

Ouais.

Intervenant 10:32

L'objectif de cette exploration, en fait, c'est de comprendre comment une idée d'une simplicité enfantine, genre le simple fait de répéter une règle, ça permet de modéliser le monde entier et de résoudre des problèmes d'une complexité folle.

Intervenant 20:44

Ce qui est merveilleux avec ce sujet, c'est vraiment la disproportion entre l'outil de départ et le résultat obtenu.

Intervenant 10:50

Ouais, les carrés immenses !

Intervenant 20:52

Complètement. Tirer une infinité de conclusions, construire des mondes mathématiques entiers ou même anticiper l'évolution d'une population à partir d'une seule et unique règle qu'on répète inlassablement, c'est sans conteste l'une des plus grandes prouesses de la pensée humaine. C'est vraiment ça, c'est l'art de faire naître l'infini à partir d'une graine minuscule.

Intervenant 11:13

Et pour comprendre comment cette graine a germé, il faut remonter un peu le temps. Et effet super surprenant pour un concept mathématique d'ailleurs, s'intéresser d'abord à la linguistique.

Intervenant 21:22

Ah ouais, l'étymologie c'est la base.

Intervenant 11:24

Exactement. Le terme central de notre exploration d'aujourd'hui, pour ceux qui nous écoutent, c'est la récurrence. Mais d'où vient ce mot fondamentalement ? Avant d'atterrir sur nos bancs de l'école.

Intervenant 21:35

Alors, son origine nous vient tout droit du latin, du verbe « récurer ». Et l'image est super physique, hyper dynamique, vu que ça signifie littéralement « revenir en courant » ou « revenir en arrière sur ses pas », tu vois.

Intervenant 11:49

Revenir sur ces pas d'accord.

Intervenant 21:50

L'idée de repasser par le même chemin. Historiquement, on associe souvent l'émergence de ce raisonnement par récurrence à Blaise Pascal au XVIIe siècle, notamment avec son fameux triangle.

Intervenant 12:01

Le fameux triangle de Pascal, ouais.

Intervenant 22:03

Voilà. Mais pourtant, en creusant bien les archives de nos sources, on s'aperçoit que la mécanique, elle était déjà en germe bien avant, genre en pleine Renaissance.

Intervenant 12:13

Alors là, on parle du mathématicien italien Francisco Moralico, si je ne me trompe pas, quelque part entre 1495 et 1575. C'est fou de se dire qu'à l'époque où Michel-Ange peignait la chapelle Sistine, d'autres posaient littéralement les briques de l'infini.

Intervenant 22:29

C'est le parallèle parfait. Dans son ouvrage Arithmeticorum, Moralico utilisait déjà ce principe d'induction pour démontrer des propriétés sur les nombres impairs. En fait, il avait saisi cette intuition de la chaîne logique.

Intervenant 12:43

C'est-à-dire ?

Intervenant 22:44

Si une chose est vraie pour le premier maillon et que chaque maillon transmet la vérité au suivant, alors la chaîne entière est vraie.

Intervenant 12:51

C'est d'une logique implacable.

Intervenant 22:53

Oui, mais il a quand même fallu plusieurs siècles pour que cette intuition devienne un pilier incontestable. Il faut carrément attendre la fin du XIXe siècle et le grand Henri Poncarré pour que la récurrence soit couronnée.

Intervenant 13:04

Ah, Poncarré !

Intervenant 23:05

Eh oui, Poincare l'a qualifié carrément de « raisonnement mathématique par excellence ». Pour lui, c'était la preuve ultime de la puissance de l'esprit humain, qui est capable de concevoir l'infini en un seul acte de pensée.

Intervenant 13:17

C'est hyper puissant, mais ça amène quand même une petite confusion sémantique qu'il faut dissiper pour notre audience.

Intervenant 23:22

Je vois de quoi tu parles.

Intervenant 13:24

Bah oui, dans les discussions autour de ce sujet, on entend super souvent deux mots qui se ressemblent énormément. On parle de récurrence d'un côté et de récursivité de l'autre. Est-ce que c'est des simples synonymes ou il y a une vraie subtilité qui nous échappe ?

Intervenant 23:37

Ah, il y a une subtilité et elle est cruciale pour comprendre l'évolution des sciences. La récurrence, c'est vraiment rester la chasse gardée des mathématiques pures. C'est une méthode de démonstration logique.

Intervenant 13:48

Ok, donc on prouve des théorèmes avec.

Intervenant 23:50

Voilà. La récursivité, en revanche, elle a voyagé. Le terme nous vient de l'anglais « recursive », qui est bien sûr dérivé de notre fameux « recurere » latin, mais il a explosé dans d'autres disciplines.

Intervenant 14:03

Genre en informatique, j'imagine ?

Intervenant 24:05

Oui, mais pas seulement. Pour les linguistes, par exemple, c'est la capacité d'enchasser des phrases dans des phrases à l'infini. En informatique moderne, c'est le concept de bave où une fonction s'appelle elle-même. Mais on le retrouve aussi en biologie de l'évolution avec l'ADN ou même dans les fractales en art.

Intervenant 14:23

Ce qui est vertigineux, c'est quand un seul esprit arrive à fusionner ces deux mondes. Nos sources mettent en lumière un personnage vraiment charnière, un certain Giuseppe Peano.

Intervenant 24:33

Ah oui, Piano a ses mathématiques, ah oui !

Intervenant 14:36

Ce mathématicien italien de la fin du XIXe siècle était justement, et c'est sûrement pas un hasard, un grand passionné de linguistique.

Intervenant 24:44

C'est clair. Et le travail de Piano, c'est l'un des plus grands tours de force de l'histoire des sciences. À son époque, les mathématiciens cherchaient à consolider les fondations de leurs disciplines. Et Piano, il a décidé de reconstruire la totalité de l'ensemble des entiers, naturel, tu sais, le fameux ensemble grand N,

Intervenant 15:02

Oui, 0, 1, 2, 3, etc.

Intervenant 25:04

Exactement. Il a voulu le reconstruire en partant du vide absolu, en utilisant uniquement une approche récursive. Et sa méthode brille par son ascétisme. Il pose qu'une seule brique de départ, le chiffre 0, et il définit qu'une seule règle de mouvement, ce qu'il appelle la fonction successeur.

Intervenant 15:22

Donc, si je résume, au lieu de dire que les nombres existent de façon innée dans la nature, il dit, bon bah voici 0, et voici une règle qui dit que chaque élément possède un élément suivant. C'est ça, hein ?

Intervenant 25:33

C'est totalement ça. Le chiffre 1 n'est rien d'autre que le successeur de 0. Le 2, bah c'est le successeur du successeur de 0. Et ainsi de suite. Avec une seule brique et un seul mouvement, il engendre l'infinité de tous les nombres entiers.

Intervenant 15:47

Waouh ! Si on essaie de visualiser ça, c'est un peu comme si Piano avait inventé un escalier infini, mais avec une astuce de construction redoutable.

Intervenant 25:57

Une astuce ?

Intervenant 15:58

Ouais. C'est pas un escalier qu'on bâtit marche par marche, on allait en chercher des planches de bois à chaque fois. On pose la première marche, le zéro, et à l'intérieur de cette marche, il y a un petit mécanisme, genre un code génétique, qui contient les matériaux et le plan pour fabriquer la marche suivante. La mécanique s'emballe toute seule pour construire l'édifice des maths.

Intervenant 26:14

Mais c'est une super image. L'analogie de l'escalier auto-constructeur est hyper juste. D'ailleurs, pour réconcilier définitivement la vision informatique et la vision mathématique dont on parlait, le XXe siècle a vu naître les travaux de Stephen Colclean.

Intervenant 16:29

Un logicien, c'est

Intervenant 26:31

ça ? Oui, un logicien américain. Il a donné un sens formel et très rigoureux aux ensembles qu'on construit par cette méthode récursive de l'escalier, en s'appuyant justement sur les suites récurrentes. Il a prouvé que tout ce qui est calculable par une machine est intimement lié à ses définitions récursives.

Intervenant 16:47

Mais du coup, je me fais un peu l'avocat du diable là.