Interpolation polynomiale : quand plus de points font pire

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on va démarrer avec un petit exercice mental. Imaginons une situation de crise

Intervenant 20:09

absolue. Le genre de scénario hollywoodien quoi.

Intervenant 10:13

C'est ça. Une organisation ultra secrète qui possède, disons, les codes de lancement d'un système critique. Ou alors la clé maîtresse d'un coffre-fort numérique qui contient des secrets d'État.

Intervenant 20:23

D'accord.

Intervenant 10:24

Le problème, c'est que dans ce milieu, la confiance absolue, ça n'existe pas. On refuse catégoriquement de confier la totalité de ce pouvoir à une seule personne.

Intervenant 20:33

Ouais, c'est trop risqué.

Intervenant 10:34

Exactement. Donc le cahier des charges exige une serrure mathématique tellement sophistiquée que, par exemple, si deux hauts gradés tentent de forcer le système ensemble, ils n'obtiennent strictement aucun indice. Rien du tout. Mais, et c'est l'accès fort, si un troisième membre se joint à eux, le coffre s'ouvre instantanément.

Intervenant 20:51

C'est le fameux protocole de partage de secrets.

Intervenant 10:53

Voilà. Et la chose la plus fascinante dans ce scénario de cryptographie hyper moderne, c'est que la technologie inviolable qui rend ça possible, elle repose sur une petite astuce de géométrie du XVIIIe siècle, un truc conçu au départ sur un bout de papier juste pour tracer des courbes.

Intervenant 21:10

En fait, c'est tout le paradoxe et je dirais la beauté de la réflexion qu'on va mener aujourd'hui. On s'appuie sur cet excellent article source qui s'intitule « Approcher une fonction et épouser sa courbe ».

Intervenant 11:20

Un titre qui sonne presque de manière poétique d'ailleurs.

Intervenant 21:23

Totalement. Mais derrière cette poésie, il y a une des obsessions les plus anciennes et les plus puissantes des mathématiciens. C'est vraiment l'art de remplacer l'insaisissable par le basique.

Intervenant 11:32

C'est-à-dire ?

Intervenant 21:33

Remplacer des phénomènes naturels super complexes, des fonctions dont le calcul épuiserait littéralement les meilleurs ordinateurs actuels, par de simples polynômes.

Intervenant 11:42

Ah les polynômes, les vieux souvenirs d'école.

Intervenant 21:45

Ouais, parce que ce sont les entités les plus dociles de l'algèbre linéaire. Elles sont construites exclusivement avec les deux opérations les plus simples qui soient, c'est-à-dire l'addition et la multiplication.

Intervenant 11:57

Et donc l'objectif de notre exploration mathématique aujourd'hui, c'est vraiment de démontrer à ceux qui nous écoutent à quel point cette volonté farouche de simplifier le monde, eh bien elle conduit à des découvertes extraordinaires.

Intervenant 22:09

Absolument.

Intervenant 12:10

Au fil de l'analyse, on va croiser des courbes qui se rebellent et qui dérapent de façon complètement incontrôlable. Les

Intervenant 22:15

fameux tsunamis mathématiques.

Intervenant 12:17

Oui, c'est ça. On va découvrir aussi des ruses géométriques pour dompter ces vagues d'oscillations. Et bien sûr, on va comprendre comment on sécurise de l'information très sensible juste avec la forme d'une parabole.

Intervenant 22:29

Un beau programme.

Intervenant 12:30

Bon, décortiquons tout ça. Parce qu'il faut d'abord poser les fondations, tu vois. Le point de départ, c'est l'action la plus instinctive qui soit. On a des points dispersés sur une feuille et on cherche tout bêtement à les relier par une ligne bien fluide.

Intervenant 22:44

Alors, le cadre théorique de cette action a un nom très précis en mathématiques. C'est ce qu'on appelle le problème de l'interpolation polynomiale.

Intervenant 12:51

Interpolation polynomiale, d'accord.

Intervenant 22:54

Ouais. L'idée centrale, c'est de construire une réalité continue à partir de données qui, elles, sont discontinues. Prenons un cas concret pour l'auditoire. On étudie un phénomène, on fait des mesures en laboratoire et on obtient un nombre fini de résultats fiables. Des points sur

Intervenant 13:08

un graphique, en

Intervenant 23:09

gros. Exactement. Appelons ce nombre n plus un point connu. Et le défi mathématique là-dedans, c'est de trouver un polynôme dont le degré maximum sera de n et qui aura l'obligation absolue de passer exactement, mais vraiment sans le moindre écart, par chacun de ces points de mesure.

Intervenant 13:25

Ok. Pour rendre le concept un peu plus tangible, on va réduire l'échelle. Imaginons un graphique sur lequel on a placé exactement trois points d'isolés. Trois points distincts. On connaît parfaitement leurs coordonnées. Disons x0, y0 pour le premier, x1, y1 pour le second et x2, y2 pour le troisième.

Intervenant 23:44

Parfait !

Intervenant 13:45

Puisqu'on dispose de trois points en tout, si je suis bien ta règle du n plus 1, la théorie exige qu'on cherche un polynôme de degré 2.

Intervenant 23:53

C'est tout à fait ça. Autrement dit, on part à la recherche de l'équation classique d'une parabole, la fameuse formule que beaucoup connaissent, le fameux ax² plus bx plus c.

Intervenant 14:04

Voilà. Et face à cette énigme, j'imagine que la première impulsion, c'est de foncer dans le tas. La méthode de la force brute.

Intervenant 24:11

Ah bah c'est très souvent le premier réflexe, ouais. L'approche est élémentaire. Puisqu'on exige que notre parabole passe par le premier point, on remplace bêtement les inconnus x et y de notre formule par les coordonnées du point, donc x0 et y0.

Intervenant 14:24

Donc on obtient une première équation du genre ax0² plus bx0 plus c égale y0.

Intervenant 24:32

C'est ça. Et on répète gentiment l'opération pour les deux autres points. Et au final, on se retrouve face à un système rigide de trois équations simultanées qu'il faut résoudre pour débusquer les valeurs de nos trois constantes A, B et C.

Intervenant 14:44

Ouais alors, un système d'équations à résoudre à la main, ça rappelle des sueurs froides.