Triangle de Pascal : la règle qui cache tant de figures

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une plongée dans un article fascinant qui s'appelle « Voyage au cœur d'un classique des mathématiques ». Bonjour à toutes les personnes qui nous écoutent.

Intervenant 20:12

Salut Evelyne. Oui, un très beau voyage d'ailleurs qui nous ramène un peu en enfance, tu vas voir.

Intervenant 10:17

Exactement. Et notre mission pour cette exploration, c'est de prendre une structure qui a l'air d'une simplicité ridicule, le fameux triangle de Pascal, et de décortiquer ce qui se cache sous le capot.

Intervenant 20:29

Parce qu'il y en a des choses cachées là-dessous.

Intervenant 10:31

Oh que oui ! Sans tomber dans l'émerveillement exagéré, on va faire de la vraie vulgarisation rigoureuse. L'idée, c'est de montrer comment un simple empilement de nombres peut générer des lois biologiques, des géométries fractales et même les secrets des nombres premiers.

Intervenant 20:46

Ouais. Et le point de départ de l'article est vraiment parfait pour poser les bases. L'auteur cite une scène très visuelle d'un roman, Le démon des maths, de Hans Magnus Hansensberger.

Intervenant 10:57

Un classique, oui.

Intervenant 20:58

Dans cette histoire, t'as un jeune garçon, Pierre, qui rêve qu'un démon lui fait construire ce triangle avec des vrais cubes, en pierre. Littéralement comme font les maçons, quoi. On assemble des blocs, on les décale pour faire une forme de pyramide.

Intervenant 11:09

Et chaque nouveau bloc vient se caler exactement dans le creux, entre deux pierres, de la rangée du dessus. Mais avant d'aller chercher les trésors mathématiques, faut vraiment que quiconque nous écoute puisse bien visualiser la règle. Elle est, enfin, elle est vraiment enfantine.

Intervenant 21:24

Le démon lui dit de mettre un premier cube tout en haut, le sommet, et sur ce cube on peint un 1. Et

Intervenant 11:29

ensuite on descend sur les bords, c'est bien

Intervenant 21:30

ça ? Exactement. Sur tous les cubes des bordures, que ce soit le flanc gauche ou le flanc droit, on n'écrit que des 1. Et ça jusqu'à l'infini.

Intervenant 11:40

C'est pour remplir le cœur du triangle que la vraie machinerie s'active en fait. Pour chaque cube vide au milieu, la règle c'est, on regarde les deux cubes juste au-dessus, on additionne leur nombre et on inscrit le résultat.

Intervenant 21:53

C'est pas plus compliqué que ça. Sous le sommet, t'as un 1 à gauche et un 1 à droite.

Intervenant 11:59

Ouais, d'accord.

Intervenant 22:00

Et la ligne suivante, t'as un trou au centre, donc tu additionnes le 1 de gauche et le 1 de droite, ça fait 2. Ta ligne devient 1, 2, 1.

Intervenant 12:08

Et si on continue en dessous, on met nos 1 sur les bords, puis on additionne le 1 et le 2, ça fait 3. Puis le 2 et le 1, ça fait 3. Donc on a la ligne 1, 3, 3,

Intervenant 22:20

1. Tout à fait. Et celle d'après, ce sera 1, 4, 6, 4.

Intervenant 12:26

Et rien qu'en listant ces nombres à voix haute, il y a une propriété visuelle qui saute aux yeux. C'est la symétrie. Si on trace une ligne imaginaire qui coupe le triangle en deux, de haut en bas, la moitié gauche est le reflet absolu de la droite.

Intervenant 22:40

Oui, et Blaise Pascal lui-même accordait une énorme importance à cet axe médian. Quand il a étudié ça en 1653, il l'appelait la dividende.

Intervenant 12:49

Ah la dividende, joli terme !

Intervenant 22:51

Et après avoir étudié la structure, il a eu cette phrase célèbre, il disait « j'en laisse bien plus que je n'en donne ». C'est une chose étrange combien il est fertile en propriété.

Intervenant 12:59

Alors, c'est une très belle citation, mais je vais quand même faire l'avocat du diable deux secondes face à cette fertilité.

Intervenant 23:05

Vas-y, je t'écoute.

Intervenant 13:06

Quand je visualise le truc, moi, je vois une espèce de cascade. L'eau part du sommet, elle coule, se divise et s'accumule là où les courants se rejoignent. C'est très joli visuellement, d'accord, mais fondamentalement, c'est littéralement de l'addition niveau école primaire.

Intervenant 23:22

C'est vrai, oui.

Intervenant 13:23

Du coup, comment une opération aussi basique, genre 3 plus 3 égale 6, peut-elle générer autre chose qu'une montagne de nombres un peu ennuyeuses ?

Intervenant 23:32

C'est tout le secret des systèmes complexes, en fait. La puissance, elle ne vient pas du fait que l'opération de départ soit compliquée, elle vient de la répétition, de l'itération infinie.

Intervenant 13:40

D'accord, l'accumulation, c'est ça ?

Intervenant 23:42

Exactement, c'est une accumulation géométrique. Quand tu écris ce fameux nombre 6, c'est pas juste un 6. Ce 6, il cristallise toute l'histoire des additions qui l'ont précédé depuis le sommet. Chaque case est une sorte d'archive des étages du dessus.

Intervenant 13:55

Ah, je vois. Et cette accumulation, elle devient vraiment flagrante quand on arrête de regarder les cases une par une pour regarder les lignes entières.

Intervenant 24:04

Ouais, l'avalanche numérique dont parle l'article.

Intervenant 14:07

C'est ça. Si on regarde horizontalement et qu'on additionne tous les nombres d'une même ligne, de gauche à droite, il y a un truc fou qui se passe. La première ligne donne 1. La deuxième, 1 plus 1 donne 2. La troisième, 1 plus 2 plus 1 donne 4.

Intervenant 24:23

Et après, on a 1 plus 3 plus 3 plus 1, ça fait 8. Puis la ligne d'après totalise 16. On a donc 1, 2, 4, 8, 16. C'est

Intervenant 14:32

fascinant. À chaque fois qu'on descend d'un étage, le total double.

Intervenant 24:36

Et ça, Pascal l'avait noté, c'est la septième conséquence de son traité.