Tore plat : comment voir un carré transformé sans l’étirer ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on vous propose une exploration géométrique assez dingue. Mais pour commencer, prenez une feuille de papier carrée, genre là sur votre bureau. Imaginez que vous rejoignez les bords opposés pour former un cylindre. Ouais, un tube quoi. Voilà, un tube. Et ensuite, vous essayez de courber ce tube pour en faire une bouée. Résultat des courses ?

Intervenant 20:24

Le papier va forcément se froisser, faire des plis, enfin des plis épouvantables. Ou alors il va se déchirer si tu tires trop dessus. C'est inévitable. En fait, notre intuition, tout comme la géométrie classique, nous dit que c'est juste impossible de faire cette manipulation sans modifier les distances à la surface de la feuille.

Intervenant 10:43

Donc sans l'étirer ou la contracter. C'est ça. Et pourtant, c'est précisément le point de départ de notre plongée du jour. Parce qu'en 1954, le célèbre mathématicien John Nash a prouvé par A plus B que c'était parfaitement possible. C'est ce qu'on appelle le Tore plat. Et donc, notre mission aujourd'hui, en nous basant sur le super documentaire Ils ont eu raison du TOR, qui est d'ailleurs dispo sur la chaîne YouTube EVA Project, c'est de comprendre comment des mathématiciens ont réussi à rendre visible cet objet qui était réputé impossible à imaginer.

Intervenant 21:16

Et il faut bien mesurer le choc que représente le théorème de Nash à l'époque. Il démontre l'existence de cette transformation, mais en conservant strictement les longueurs initiales de notre carré de

Intervenant 11:27

papier.

Intervenant 21:28

Les mathématiques garantissent que l'objet existe. Mais le problème, c'est que la démonstration théorique ne livre absolument aucun mode d'emploi pour le dessiner.

Intervenant 11:38

Là, je t'avoue que mon cerveau bloque un peu. Enfin, je veux bien faire confiance aux équations de Nash, mais concrètement, comment est-ce que c'est physiquement ou même logiquement concevable de garder les mêmes longueurs ? Parce que si on ne l'étire pas, la surface extérieure de la bouée a forcément besoin de plus de matière que l'intérieur pour faire le tour, non ?

Intervenant 21:59

Bah oui, ça paraît logique. Mais c'est là toute la subtilité de la géométrie qui est à l'œuvre ici. En fait, au lieu de courber la surface d'un seul coup, ce qui créerait une déchirure, comme on disait. D'accord. Eh bien, imagine qu'on y ajoute des ondulations.

Intervenant 12:13

Attends, des sortes de vagues à la surface du papier ?

Intervenant 22:16

Précisément, ouais. Des ondulations macroscopiques qui viennent absorber le surplus ou le manque de matière. Mais bon, la courbure globale crée de nouvelles tensions.

Intervenant 12:26

Ah,

Intervenant 22:28

donc on rajoute d'autres vagues. Voilà. Sur ces premières ondulations, on ajoute de nouvelles vagues, plus petites. Puis sur ces petites vagues, encore des micro-ondulations, et ainsi de suite.

Intervenant 12:40

À l'infini ?

Intervenant 22:40

À l'infini, ouais. La surface se met littéralement à vibrer géométriquement pour s'enrouler sur elle-même, sans jamais s'étirer d'un seul millimètre.

Intervenant 12:49

D'accord, je commence à visualiser le truc. C'est complètement vertigineux quoi. On parle de vagues sur des vagues à l'infini. On comprend vite pourquoi pendant des décennies, cette image est restée bloquée au stade d'idées abstraites. Personne ne pouvait dessiner ça à la main, c'est évident. Et c'est justement ce qui nous amène à l'aventure moderne, qui est retracée par les réalisateurs Geoffroy et Dominique Garing. Parce qu'ils ont suivi la quête de l'équipe du mathématicien Vincent Borelli. Et eux, ils ont décidé de relever ce défi visuel.

Intervenant 23:18

Et le documentaire illustre super bien cette transition délicate, tu sais, entre le tableau noir et l'écran d'ordinateur. Parce que l'équipe de Boréli, elle a dû traduire les concepts théoriques de Nash des années 50. Ouais,

Intervenant 13:30

des trucs ultra abstraits.

Intervenant 23:31

Exactement, en algorithme complexe capable de générer une image

Intervenant 13:35

3D.

Intervenant 23:36

C'est un travail titanesque. Ça nécessite des millions de calculs pour modéliser cette succession infinie d'ondulations sans jamais violer les lois mathématiques du théorème initial.

Intervenant 13:47

Et ce qui rend le film vraiment captivant, c'est qu'il ne se contente pas de nous balancer des lignes de code à l'écran. L'approche est hyper pédagogique.

Intervenant 23:54

Carrément.

Intervenant 13:55

On y retrouve par exemple Cédric Villani et Étienne Guisse, qui interviennent pour donner de petites leçons d'une clarté vraiment redoutable.

Intervenant 24:03

Ah oui, les interventions d'Étienne Guisse sont géniales pour ça.

Intervenant 14:06

Totalement. Il nous aide à décrypter les hypothèses des théorèmes et on accompagne vraiment l'équipe de chercheurs dans ses doutes profonds face aux limites de l'informatique, jusqu'au gros soulagement de la réussite finale.

Intervenant 24:18

Une réussite qui dépasse d'ailleurs la simple confirmation d'une théorie.

Intervenant 14:21

Comment ça ?

Intervenant 24:22

Eh bien, quand le fameux Tore plat apparaît enfin à l'écran grâce à leur programme, l'objet révèle une structure visuellement stupéfiante. En fait, les mathématiciens se sont rendus compte qu'ils avaient sous les yeux ce qu'ils appellent une fractale lisse.

Intervenant 14:37

Alors, attends, arrêtons-nous sur ce terme de seconde, parce que ça me semble un peu contradictoire.

Intervenant 24:44

Ouais, je comprends.

Intervenant 14:45

Une fractale classique, on a l'habitude de la voir avec des arêtes, des brisures, genre comme un flocon de neige dont les pointes se répètent à l'infini, tu

Intervenant 24:52

vois.

Intervenant 14:53

Mais là, tu parles d'une fractale lisse.

Intervenant 24:56

Bah, c'est tout le paradoxe de cet objet en fait. Le tore plat est une fractale parce que si tu zooms dessus, tu retrouves sans cesse ce même motif d'ondulation à des échelles de plus en plus petites.

Intervenant 15:07

Jusqu'à l'infini, d'accord.

Intervenant 25:09

Voilà. Mais contrairement aux fractales habituelles, qui sont très rugueuses et pleines de pointes, celle-ci reste infiniment douce. Il n'y a absolument aucun arrêt de vives. Si elle existait physiquement, tu pourrais faire glisser ton doigt à sa surface sans jamais te piquer. C'est vraiment la découverte d'une toute nouvelle catégorie d'objets mathématiques.

Intervenant 15:29

C'est fascinant. Donc on part d'un petit paradoxe avec un bout de papier pour aboutir à une vraie révolution visuelle et conceptuelle.

Intervenant 25:36

Ouais, et ça prouve surtout que les mathématiques ne sont pas figées, tu vois. Réussir à voir cet objet, ça ouvre la porte à l'exploration d'un monde géométrique totalement inédit.

Intervenant 15:46

Ce qui laisse forcément songeur sur tout ce qu'il nous reste à découvrir, non ?

Intervenant 25:50

Absolument. D'ailleurs, ça soulève une réflexion vraiment vertigineuse.

Intervenant 15:54

Vas-y.

Intervenant 25:54

Plus d'un demi-siècle avant que la technologie informatique ne puisse la révéler.

Intervenant 15:59

Ouais.

Intervenant 25:59

Quelles autres structures complètement hallucinantes Dorme en ce moment même dans d'anciens théorèmes, n'attendant que la bonne puissance de calcul pour enfin apparaître sous nos yeux.